Seja T: \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{4} definida por T(p)=(p(0), p(1), p(-1), p(2)). Mostre que T é um isomorfismo.

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear T:\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^{4} por
T(p) = \bigl(p(0),\,p(1),\,p(-1),\,p(2)\bigr).
Informações dadas:
  • O domínio é \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}), o espaço de polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a 3.
  • O contradomínio é \mathbb{R}^{4}.
  • Para cada polinômio p\in\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) a imagem T(p) é o vetor formado pelas avaliações de p em x=0,1,-1,2.
    O que o enunciado pede: mostrar que T é um isomorfismo (ou seja, que T é linear e bijetiva).

Passo 2

Mostrar que T é linear (essa é a parte mais simples).
Definição: uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer p,q\in\mathcal{P}_3(\mathbb{R}) e quaisquer escalares a,b\in\mathbb{R}, valer
T(ap+bq)=aT(p)+bT(q).
Verificação direta: para cada coordenada de T usamos a linearidade da avaliação de polinômios. Por exemplo, na primeira coordenada
\bigl(T(ap+bq)\bigr)_1 = (ap+bq)(0) = a\,p(0)+b\,q(0) = a\bigl(T(p)\bigr)_1 + b\bigl(T(q)\bigr)_1.
O mesmo vale para x=1,-1,2. Portanto
T(ap+bq)=\bigl(a\,p(0)+b\,q(0),\,a\,p(1)+b\,q(1),\,a\,p(-1)+b\,q(-1),\,a\,p(2)+b\,q(2)\bigr) = aT(p)+bT(q).
Logo T é linear.

Passo 3

Mostrar que T é injetora usando o núcleo (kernel).
Definição: o núcleo de T é \ker(T)=\{p\in\mathcal{P}_3(\mathbb{R}) \mid T(p)=0\}. Se \ker(T)=\{0\} então T é injetora (teorema padrão em álgebra linear).
Se p\in\ker(T) então
p(0)=0,\quad p(1)=0,\quad p(-1)=0,\quad p(2)=0.
Ou seja, p tem as quatro raízes distintas 0,1,-1,2. Agora usamos um fato básico de polinômios (teorema do resto / fator): se \alpha é raiz de p então (x-\alpha) divide p. Assim, se p não for o polinômio zero, cada raiz distinta contribui um fator linear distinto e o produto desses fatores dá um polinômio de grau pelo menos o número de raízes distintas. Como \deg(p)\le 3, um polinômio não nulo de grau \le 3 não pode ter 4 raízes distintas. Portanto a única possibilidade é que p seja o polinômio zero. Conclusão:
\ker(T)=\{0\}.
Logo T é injetora.

Passo 4

Concluir que T é isomorfismo usando dimensão (argumento rápido) e, em seguida, dar uma construção explícita da inversa (opcional mas útil na prova).
Primeiro argumento (dimensões): \mathcal{P}_3(\mathbb{R}) tem dimensão 4 (base usual \{1,x,x^2,x^3\}) e \mathbb{R}^4 tem dimensão 4. Para uma aplicação linear entre espaços vetoriais de mesma dimensão finita, injetividade implica bijetividade. Como já mostramos que T é linear e injetora, segue que T é bijetora; portanto T é um isomorfismo.
Segundo argumento (construtivo — inversa via interpolação de Lagrange): dado um vetor (a_1,a_2,a_3,a_4)\in\mathbb{R}^4 pode-se construir explicitamente um polinômio p\in\mathcal{P}_3(\mathbb{R}) tal que
p(0)=a_1,\quad p(1)=a_2,\quad p(-1)=a_3,\quad p(2)=a_4
pela fórmula de interpolação de Lagrange. Definindo os pontos
x_1=0,\quad x_2=1,\quad x_3=-1,\quad x_4=2,
as funções de base de Lagrange são
\ell_j(x)=\prod_{\substack{k=1\k\ne j}}^{4}\frac{x-x_k}{x_j-x_k}\quad\text{para }j=1,2,3,4,
e o polinômio interpolador é
p(x)=\sum_{j=1}^{4} a_j\,\ell_j(x).
Cada \ell_j é um polinômio de grau 3 e satisfaz \ell_j(x_i)=\delta_{ij} (aqui \delta_{ij} é 1 se i=j e 0 caso contrário), de modo que p(x_i)=a_i. Assim existe uma função linear S:\mathbb{R}^4\to\mathcal{P}_3(\mathbb{R}) dada por S(a_1,a_2,a_3,a_4)=\sum a_j\ell_j que é inversa de T. Para ficar bem concreto, as \ell_j correspondentes valem (computando os denominadores):
\ell_1(x)=\frac{(x-1)(x+1)(x-2)}{2}, \qquad \ell_2(x)=-\frac{x(x+1)(x-2)}{2},
\ell_3(x)=-\frac{x(x-1)(x-2)}{6}, \qquad \ell_4(x)=\frac{x(x-1)(x+1)}{6}.
Verifica-se facilmente que \ell_j(x_i)=\delta_{ij}. Portanto S é a inversa linear de T, mostrando explicitamente que T é bijetora e linear.

Passo 5

Conclusão final da resolução: combinando os argumentos anteriores (linearidade + núcleo trivial ou construção explícita da inversa) obtemos que T é um isomorfismo linear entre \mathcal{P}_3(\mathbb{R}) e \mathbb{R}^4. Está demonstrado que a aplicação de avaliação em quatro pontos distintos é uma bijeção entre polinômios de grau \le 3 e vetores de \mathbb{R}^4, e a inversa pode ser construída pela interpolação de Lagrange.

Resposta

T é um isomorfismo (linear e bijetivo).

Exercícios relacionados