Seja
definida por
. Mostre que
é um isomorfismo.
Passo 1
O enunciado define a aplicação linear
por
Informações dadas:
- O domínio é
, o espaço de polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a . - O contradomínio é
. - Para cada polinômio
a imagem é o vetor formado pelas avaliações de em .
O que o enunciado pede: mostrar queé um isomorfismo (ou seja, que é linear e bijetiva).
Passo 2
Mostrar que
é linear (essa é a parte mais simples).
Definição: uma aplicação entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer
e quaisquer escalares
, valer
Definição: uma aplicação
Verificação direta: para cada coordenada de
usamos a linearidade da avaliação de polinômios. Por exemplo, na primeira coordenada
O mesmo vale para
. Portanto
Logo
é linear.
Passo 3
Mostrar que
é injetora usando o núcleo (kernel).
Definição: o núcleo de é
. Se
então
é injetora (teorema padrão em álgebra linear).
Definição: o núcleo de
Se
então
Ou seja,
tem as quatro raízes distintas
. Agora usamos um fato básico de polinômios (teorema do resto / fator): se
é raiz de
então
divide
. Assim, se
não for o polinômio zero, cada raiz distinta contribui um fator linear distinto e o produto desses fatores dá um polinômio de grau pelo menos o número de raízes distintas. Como
, um polinômio não nulo de grau
não pode ter 4 raízes distintas. Portanto a única possibilidade é que
seja o polinômio zero. Conclusão:
Logo
é injetora.
Passo 4
Concluir que
é isomorfismo usando dimensão (argumento rápido) e, em seguida, dar uma construção explícita da inversa (opcional mas útil na prova).
Primeiro argumento (dimensões): tem dimensão
(base usual
) e
tem dimensão
. Para uma aplicação linear entre espaços vetoriais de mesma dimensão finita, injetividade implica bijetividade. Como já mostramos que
é linear e injetora, segue que
é bijetora; portanto
é um isomorfismo.
Primeiro argumento (dimensões):
Segundo argumento (construtivo — inversa via interpolação de Lagrange): dado um vetor
pode-se construir explicitamente um polinômio
tal que
pela fórmula de interpolação de Lagrange. Definindo os pontos
as funções de base de Lagrange são
e o polinômio interpolador é
Cada
é um polinômio de grau
e satisfaz
(aqui
é
se
e
caso contrário), de modo que
. Assim existe uma função linear
dada por
que é inversa de
. Para ficar bem concreto, as
correspondentes valem (computando os denominadores):
Verifica-se facilmente que
. Portanto
é a inversa linear de
, mostrando explicitamente que
é bijetora e linear.
Passo 5
Conclusão final da resolução: combinando os argumentos anteriores (linearidade + núcleo trivial ou construção explícita da inversa) obtemos que
é um isomorfismo linear entre
e
. Está demonstrado que a aplicação de avaliação em quatro pontos distintos é uma bijeção entre polinômios de grau
e vetores de
, e a inversa pode ser construída pela interpolação de Lagrange.