Seja
e
.
e
são isomorfos? Justifique detalhadamente.
Passo 1
O enunciado dá duas subespaços de espaços euclidianos e pergunta se eles são isomorfos, pedindo justificativa detalhada. Informações dadas:
-
. -
.
A pergunta a responder é: “V e W são isomorfos?” Devo justificar a resposta detalhadamente.
Passo 2
O que significa “isomorfos” aqui — definição e ideia principal que vou usar.
- Definição: Dois espaços vetoriais
e sobre o mesmo corpo (aqui ) são isomorfos se existe uma aplicação linear bijetora . Em palavras: existe uma correspondência linear que preserva soma e multiplicação por escalar e que é invertível. - Fato importante (teorema que vou usar): Se
e são espaços vetoriais de dimensão finita então e são isomorfos se, e somente se, .
Vou portanto calculare . Se forem diferentes, não há isomorfismo; se forem iguais, posso construir um isomorfismo explícito a partir de bases.
Passo 3
Calcular
. Primeiro escrevo um vetor genérico de
usando a equação que define
.
Um vetor arbitrário de tem coordenadas
sujeitas a
Um vetor arbitrário de
Posso isolar uma coordenada, por exemplo
, em função das outras:
Substituindo isso, qualquer vetor de
pode ser escrito como
Agora escrevo essa combinação como soma de vetores escalares:
Isto mostra que os vetores
geram
(ou seja,
).
Agora verifico que são linearmente independentes. Suponha que existam escalares
tais que
Escrevendo coordenada a coordenada:
Isto dá o sistema
As três primeiras equações já implicam
, logo os vetores são linearmente independentes. Portanto
é uma base de
.
Conclusão deste passo:
Passo 4
Calcular
. Faço procedimento análogo para
.
Um vetor genérico de é
com
Um vetor genérico de
Posso resolver, por exemplo, para
:
Logo qualquer vetor de
pode ser escrito como
Isto mostra que os vetores
geram
.
Verifico independência linear. Suponha
. Então
Daí
,
. Logo
são linearmente independentes e formam uma base de
.
Conclusão deste passo:
Passo 5
Interpretação e comparação das dimensões.
- Obtive
e . - Pelo teorema citado no Passo 2, dois espaços vetoriais de dimensão finita são isomorfos somente se têm a mesma dimensão.
Como, não existe aplicação linear bijetora entre e . Portanto eles não são isomorfos.
Passo 6
Comentário intuitivo (para fixar):
é um subespaço de
com uma restrição linear, então tem três graus de liberdade;
é um subespaço de
com uma restrição linear, então tem dois graus de liberdade. Como o “número de graus de liberdade” (a dimensão) difere, não é possível emparelhar seus vetores de forma linear e invertível.
Resposta
Não.
e
, portanto
e
não são isomorfos.