Seja V=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4}: x+y+z+w=0\right\} e W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x+y+z=0\right\}. V e W são isomorfos? Justifique detalhadamente.

Passo 1

O enunciado dá duas subespaços de espaços euclidianos e pergunta se eles são isomorfos, pedindo justificativa detalhada. Informações dadas:
  • V=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 : x+y+z+w=0\}.
  • W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x+y+z=0\}.
    A pergunta a responder é: “V e W são isomorfos?” Devo justificar a resposta detalhadamente.

Passo 2

O que significa “isomorfos” aqui — definição e ideia principal que vou usar.
  • Definição: Dois espaços vetoriais U e Z sobre o mesmo corpo (aqui \mathbb{R}) são isomorfos se existe uma aplicação linear bijetora T:U\to Z. Em palavras: existe uma correspondência linear que preserva soma e multiplicação por escalar e que é invertível.
  • Fato importante (teorema que vou usar): Se U e Z são espaços vetoriais de dimensão finita então U e Z são isomorfos se, e somente se, \dim(U)=\dim(Z).
    Vou portanto calcular \dim(V) e \dim(W). Se forem diferentes, não há isomorfismo; se forem iguais, posso construir um isomorfismo explícito a partir de bases.

Passo 3

Calcular \dim(V). Primeiro escrevo um vetor genérico de V usando a equação que define V.
Um vetor arbitrário de V tem coordenadas (x,y,z,w) sujeitas a
x+y+z+w=0.
Posso isolar uma coordenada, por exemplo w, em função das outras:
w = -x-y-z.
Substituindo isso, qualquer vetor de V pode ser escrito como
(x,y,z,w) = (x,y,z,-x-y-z).
Agora escrevo essa combinação como soma de vetores escalares:
(x,y,z,-x-y-z) = x(1,0,0,-1) + y(0,1,0,-1) + z(0,0,1,-1).
Isto mostra que os vetores
v_1=(1,0,0,-1),\qquad v_2=(0,1,0,-1),\qquad v_3=(0,0,1,-1)
geram V (ou seja, V=\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}).
Agora verifico que são linearmente independentes. Suponha que existam escalares a,b,c\in\mathbb{R} tais que
a v_1 + b v_2 + c v_3 = (0,0,0,0).
Escrevendo coordenada a coordenada:
a(1,0,0,-1) + b(0,1,0,-1) + c(0,0,1,-1) = (a, b, c, -a-b-c) = (0,0,0,0).
Isto dá o sistema
a=0,\qquad b=0,\qquad c=0,\qquad -a-b-c=0.
As três primeiras equações já implicam a=b=c=0, logo os vetores são linearmente independentes. Portanto \{v_1,v_2,v_3\} é uma base de V.
Conclusão deste passo:
\dim(V)=3.

Passo 4

Calcular \dim(W). Faço procedimento análogo para W.
Um vetor genérico de W é (x,y,z) com
x+y+z=0.
Posso resolver, por exemplo, para z:
z = -x-y.
Logo qualquer vetor de W pode ser escrito como
(x,y,z) = (x,y,-x-y) = x(1,0,-1) + y(0,1,-1).
Isto mostra que os vetores
w_1=(1,0,-1),\qquad w_2=(0,1,-1)
geram W.
Verifico independência linear. Suponha \alpha w_1 + \beta w_2 = (0,0,0). Então
\alpha(1,0,-1) + \beta(0,1,-1) = (\alpha,\beta,-\alpha-\beta) = (0,0,0).
Daí \alpha=0, \beta=0. Logo w_1,w_2 são linearmente independentes e formam uma base de W.
Conclusão deste passo:
\dim(W)=2.

Passo 5

Interpretação e comparação das dimensões.
  • Obtive \dim(V)=3 e \dim(W)=2.
  • Pelo teorema citado no Passo 2, dois espaços vetoriais de dimensão finita são isomorfos somente se têm a mesma dimensão.
    Como \dim(V)\neq\dim(W), não existe aplicação linear bijetora entre V e W. Portanto eles não são isomorfos.

Passo 6

Comentário intuitivo (para fixar): V é um subespaço de \mathbb{R}^4 com uma restrição linear, então tem três graus de liberdade; W é um subespaço de \mathbb{R}^3 com uma restrição linear, então tem dois graus de liberdade. Como o “número de graus de liberdade” (a dimensão) difere, não é possível emparelhar seus vetores de forma linear e invertível.

Resposta

Não. \dim(V)=3 e \dim(W)=2, portanto V e W não são isomorfos.

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