Seja T: \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) definido por
T(p(x))=p(x+1)
(a) Mostre que T é linear.
(b) Determine a matriz de T em relação à base \left\{1, x, x^{2}, x^{3}\right\}.
(c) Calcule \operatorname{dim}(\operatorname{ker}(T)) e \operatorname{dim}(\operatorname{Im}(T)).

Passo 1

O enunciado define T\colon \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R})\to \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) por
T\bigl(p(x)\bigr)=p(x+1).
O conteúdo envolve transformação linear, matriz de transformação numa base canônica \{1,x,x^2,x^3\} e dimensões de núcleo e imagem (teorema do posto-nulidade).

Passo 2

Para mostrar que T é linear, tomamos p,q\in \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) e c\in\mathbb{R} e verificamos:
T\bigl(p(x)+q(x)\bigr)=(p+q)(x+1)=p(x+1)+q(x+1)=T(p(x))+T(q(x)),
T\bigl(c\,p(x)\bigr)=(c\,p)(x+1)=c\,p(x+1)=c\,T\bigl(p(x)\bigr).
Logo, T preserva soma e multiplicação por escalar, ou seja, é linear.

Passo 3

Para achar a matriz de T na base \{1,x,x^2,x^3\}, aplicamos T a cada vetor da base e expressamos o resultado nessa mesma base: 1)
T(1)=1,
coordenadas na base são \bigl[1,0,0,0\bigr]^\mathsf{T}. 2)
T(x)=(x+1)=1\cdot 1 +1\cdot x +0\cdot x^2+0\cdot x^3,
coordenadas \bigl[1,1,0,0\bigr]^\mathsf{T}. 3)
T(x^2)=(x+1)^2=x^2+2x+1,
coordenadas \bigl[1,2,1,0\bigr]^\mathsf{T}. 4)
T(x^3)=(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1,
coordenadas \bigl[1,3,3,1\bigr]^\mathsf{T}.
Montando as colunas, a matriz de T é
[T] = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 1 & 3\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para \ker(T), resolvemos T(p)=0. Se p(x+1)\equiv 0 como polinômio, então p\equiv 0. Logo
\ker(T)=\{0\},
portanto \dim(\ker(T))=0. Pelo teorema do posto-nulidade em espaço de dimensão 4,
\dim(\operatorname{Im}(T)) = 4 - \dim(\ker(T)) = 4 - 0 = 4.
Além disso, como a imagem tem dimensão máxima, T é sobrejetora e, combinada com a injetividade, é um isomorfismo de \mathcal{P}_3(\mathbb{R}).

Resposta

(a) T é linear por preservação de soma e escalar. (b) Na base \{1,x,x^2,x^3\},
[T] = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 1 & 3\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. (c) \dim(\ker(T))=0 e \dim(\operatorname{Im}(T))=4.

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