Seja T: \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) definido por
T(p(x))=p(x+1)
(a) Mostre que T é linear.
(b) Determine a matriz de T em relação à base \left\{1, x, x^{2}, x^{3}\right\}.
(c) Calcule \operatorname{dim}(\operatorname{ker}(T)) e \operatorname{dim}(\operatorname{Im}(T)).
Passo 1
O enunciado define T\colon \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R})\to \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) por
T\bigl(p(x)\bigr)=p(x+1).
O conteúdo envolve transformação linear, matriz de transformação numa base canônica \{1,x,x^2,x^3\} e dimensões de núcleo e imagem (teorema do posto-nulidade).
Passo 2
Para mostrar que T é linear, tomamos p,q\in \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) e c\in\mathbb{R} e verificamos: