Sejam T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y)=(x-y, x+y), e S: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, S(x, y)=(2 x, y).
(a) Mostre que T e S são lineares.
(b) Determine a matriz de T, de S e de T \circ S.
(c) Verifique que a matriz de T \circ S é o produto das matrizes de T e S.

Passo 1

O enunciado define duas transformações lineares T e S de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^2, dadas por
T(x,y) = (x - y,\;x + y), \qquad S(x,y) = (2x,\;y).
Vamos mostrar que cada uma delas satisfaz a definição de linearidade (parte a), depois encontrar as matrizes associadas a T, a S e a T\circ S no sistema de coordenadas canônico (parte b) e, por fim, verificar que a matriz de T\circ S é de fato o produto das matrizes de T e de S (parte c).

Passo 2

Para mostrar que T é linear, precisamos verificar para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e escalar c\in\mathbb{R} que
  1. T(u+v) = T(u) + T(v),
  2. T(c\,u) = c\,T(u).
Seja u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Então
u+v = (x_1 + x_2,\;y_1 + y_2)
e
T(u+v) = \bigl((x_1+x_2)-(y_1+y_2),\;(x_1+x_2)+(y_1+y_2)\bigr) = (x_1-y_1,\;x_1+y_1) + (x_2-y_2,\;x_2+y_2) = T(u) + T(v).
Para o homogeneidade,
T(c\,u) = T(c\,x_1,\;c\,y_1) = \bigl(c\,x_1 - c\,y_1,\;c\,x_1 + c\,y_1\bigr) = c\,(x_1-y_1,\;x_1+y_1) = c\,T(u).
Logo T é linear.
De modo análogo, para S seja u=(x,y) e v=(x',y'). Então
S(u+v) = S(x+x',\,y+y') = (2(x+x'),\,y+y') = (2x,\,y) + (2x',\,y') = S(u)+S(v),
e
S(c\,u) = S(c\,x,\,c\,y) = (2(c\,x),\,c\,y) = c\,(2x,\,y) = c\,S(u).
Portanto S também é linear.

Passo 3

Para encontrar a matriz de uma transformação linear no sistema canônico, aplicamos a transformação aos vetores da base \{e_1=(1,0),e_2=(0,1)\} e usamos esses resultados como colunas.
A matriz de T satisfaz
T(e_1) = T(1,0) = (1-0,\;1+0) = (1,1), \qquad T(e_2) = T(0,1) = (0-1,\;0+1) = (-1,1).
Logo,
[T] = \begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.
A matriz de S vem de
S(e_1) = S(1,0) = (2\cdot1,\,0) = (2,0), \qquad S(e_2) = S(0,1) = (0,1).
Logo,
[S] = \begin{pmatrix} 2 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
Para T\circ S, primeiro compomos
(S(x,y)) = (2x,y), \quad (T\circ S)(x,y) = T(2x,y) = (2x - y,\;2x + y).
Então
(T\circ S)(e_1) = (2\cdot1 - 0,\;2\cdot1 + 0) = (2,2), \qquad (T\circ S)(e_2) = (2\cdot0 - 1,\;2\cdot0 + 1) = (-1,1),
e
[T\circ S] = \begin{pmatrix} 2 & -1\\\\ 2 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora calculamos o produto [T]\,[S]:
[T]\, [S] = \begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot2 + (-1)\cdot0 & 1\cdot0 + (-1)\cdot1\\\\ 1\cdot2 + 1\cdot0 & 1\cdot0 + 1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1\\\\ 2 & 1 \end{pmatrix}.
Esse resultado coincide exatamente com [T\circ S].

Resposta

(a) T e S satisfazem aditividade e homogeneidade, logo são lineares.
(b)
[T] = \begin{pmatrix}1 & -1\\\ 1 & 1\end{pmatrix}, \quad [S] = \begin{pmatrix}2 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}, \quad [T\circ S] = \begin{pmatrix}2 & -1\\\ 2 & 1\end{pmatrix}.
(c) Verificou-se que [T\circ S] = [T]\,[S].

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