Sejam T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y)=(x-y, x+y), e S: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, S(x, y)=(2 x, y).
(a) Mostre que T e S são lineares.
(b) Determine a matriz de T, de S e de T \circ S.
(c) Verifique que a matriz de T \circ S é o produto das matrizes de T e S.
Passo 1
O enunciado define duas transformações lineares T e S de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^2, dadas por
Vamos mostrar que cada uma delas satisfaz a definição de linearidade (parte a), depois encontrar as matrizes associadas a T, a S e a T\circ S no sistema de coordenadas canônico (parte b) e, por fim, verificar que a matriz de T\circ S é de fato o produto das matrizes de T e de S (parte c).
Passo 2
Para mostrar que T é linear, precisamos verificar para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e escalar c\in\mathbb{R} que
Para encontrar a matriz de uma transformação linear no sistema canônico, aplicamos a transformação aos vetores da base \{e_1=(1,0),e_2=(0,1)\} e usamos esses resultados como colunas.