Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y)=(x+2 y, 3 x+y).
(a) Encontre a matriz de T na base canônica.
(b) Encontre a matriz de T em relação à base B=\{(1,1),(1,-1)\}.
(c) Verifique que as duas matrizes representam a mesma transformação em bases diferentes.
e pede:
(a) a matriz de T na base canônica \{(1,0),(0,1)\};
(b) a matriz de T na base B=\{(1,1),(1,-1)\};
(c) verificar que são representações da mesma transformação em bases diferentes.
Vamos usar a definição de matriz de uma transformação linear: suas colunas são as imagens dos vetores da base, escritas na base escolhida, e depois mostrar a relação de mudança de base.
Passo 2
Para a base canônica E=\{e_1=(1,0),e_2=(0,1)\}, calculamos
T(e_1)=T(1,0)=(1+2\cdot0,\;3\cdot1+0)=(1,3),
T(e_2)=T(0,1)=(0+2\cdot1,\;3\cdot0+1)=(2,1).
Logo, a matriz de T em E tem colunas (1,3) e (2,1):
Somando, 2d_1=1 então d_1=\tfrac12; daí d_2=-1-\tfrac12=-\tfrac32.
Portanto, a matriz de T em B tem colunas \bigl(\tfrac{7}{2},-\tfrac{1}{2}\bigr) e \bigl(\tfrac12,-\tfrac32\bigr):