Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y)=(x+2 y, 3 x+y).
(a) Encontre a matriz de T na base canônica.
(b) Encontre a matriz de T em relação à base B=\{(1,1),(1,-1)\}.
(c) Verifique que as duas matrizes representam a mesma transformação em bases diferentes.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\quad T(x,y) = (\,x+2y,\;3x+y\,)
e pede:
(a) a matriz de T na base canônica \{(1,0),(0,1)\};
(b) a matriz de T na base B=\{(1,1),(1,-1)\};
(c) verificar que são representações da mesma transformação em bases diferentes.
Vamos usar a definição de matriz de uma transformação linear: suas colunas são as imagens dos vetores da base, escritas na base escolhida, e depois mostrar a relação de mudança de base.

Passo 2

Para a base canônica E=\{e_1=(1,0),e_2=(0,1)\}, calculamos
T(e_1)=T(1,0)=(1+2\cdot0,\;3\cdot1+0)=(1,3),
T(e_2)=T(0,1)=(0+2\cdot1,\;3\cdot0+1)=(2,1).
Logo, a matriz de T em E tem colunas (1,3) e (2,1):
A=[T]_E = \begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ 3 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Na base B=\{b_1=(1,1),\,b_2=(1,-1)\}, precisamos escrever T(b_1) e T(b_2) em coordenadas de B.
Primeiro,
T(b_1)=T(1,1)=(1+2,\;3+1)=(3,4).
Procuramos (c_1,c_2) tais que
c_1\,b_1 + c_2\,b_2 = (3,4),
isto é
c_1 + c_2 = 3, \qquad c_1 - c_2 = 4.
Somando, 2c_1=7 então c_1 = \tfrac{7}{2}; daí c_2=3 - \tfrac{7}{2} = -\tfrac{1}{2}.
Segundo,
T(b_2)=T(1,-1)=(1-2,\;3-1)=(-1,2).
Queremos (d_1,d_2) tais que
d_1 + d_2 = -1, \qquad d_1 - d_2 = 2.
Somando, 2d_1=1 então d_1=\tfrac12; daí d_2=-1-\tfrac12=-\tfrac32.
Portanto, a matriz de T em B tem colunas \bigl(\tfrac{7}{2},-\tfrac{1}{2}\bigr) e \bigl(\tfrac12,-\tfrac32\bigr):
[T]_B = \begin{pmatrix} \frac{7}{2} & \frac12\\\\ -\tfrac12 & -\tfrac32 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para ver que ambas representam a mesma transformação, basta notar que se
P = \bigl[b_1\;b_2\bigr] = \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & -1\end{pmatrix},
então a mudança de base satisfaz
[T]_B \;=\; P^{-1}\,A\,P.
De fato, uma conta rápida mostra que P^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&-1\end{pmatrix} e
P^{-1}A P =\begin{pmatrix}\tfrac12&\tfrac12\\tfrac12&-\tfrac12\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&2\\\ 3&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&1\\\ 1&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{7}{2}&\tfrac12\\\ -\tfrac12&-\tfrac32\end{pmatrix},
que coincide com [T]_B. Isso confirma que são a mesma transformação em bases diferentes.

Resposta

(a) [T]_E = \begin{pmatrix}1 & 2\\\ 3 & 1\end{pmatrix}.
(b) [T]_B = \begin{pmatrix}\tfrac{7}{2} & \tfrac12\\[6pt]-\tfrac12 & -\tfrac32\end{pmatrix}.
(c) Foi verificado que [T]_B = P^{-1} [T]_E\,P com P=\bigl[(1,1),(1,-1)\bigr], mostrando igualdade da transformação em bases distintas.]

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