Seja T : \mathrm{R}^{\wedge} 2-> \mathrm{R}^{\wedge} 3 a aplicação linear tal que
\mathrm{T}(1,1)=(0,2,1) e \mathrm{T}(0,2)=(1,0,1).
Encontre uma expressão para \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
\displaystyle T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3
com
T(1,1) = (0,2,1), \quad T(0,2) = (1,0,1).
Queremos achar uma fórmula geral para
\displaystyle T(x,y).
O conteúdo envolvido é a caracterização de uma aplicação linear por meio de coeficientes em base canônica. Vamos supor
\displaystyle T(x,y)=(a x+b y,\;c x+d y,\;e x+f y)
e determinar a,b,c,d,e,f usando as duas imagens dadas.

Passo 2

Escrevendo
T(x,y) = (a x + b y,\;c x + d y,\;e x + f y),
temos as condições:
Para (1,1):
a + b = 0,\quad c + d = 2,\quad e + f = 1.
Para (0,2):
T(0,2) = (b\cdot2,\;d\cdot2,\;f\cdot2) = (1,0,1).

Passo 3

Das equações de T(0,2) obtemos
2b = 1,\quad 2d = 0,\quad 2f = 1,
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b = \tfrac12,\quad d = 0,\quad f = \tfrac12.

Passo 4

Substituindo b,d,f nas equações de T(1,1):
a + \tfrac12 = 0\;\Rightarrow\;a = -\tfrac12, \qquad c + 0 = 2\;\Rightarrow\;c = 2, \qquad e + \tfrac12 = 1\;\Rightarrow\;e = \tfrac12.

Passo 5

Assim os coeficientes são
a=-\tfrac12,\;b=\tfrac12,\; c=2,\;d=0,\; e=\tfrac12,\;f=\tfrac12
e portanto
T(x,y) = \bigl(-\tfrac12 x + \tfrac12 y,\;2x + 0\cdot y,\;\tfrac12 x + \tfrac12 y\bigr).

Resposta

T(x,y) = \Bigl(\frac{-x+y}{2},\;2x,\;\frac{x+y}{2}\Bigr).

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