Construa uma função linear f: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} eujo kernel é gerado por \{(1,0,0,0),(0,1,0,0)\} e cuja imagem é gerada por \{(1,0,0),(0,0,1)\}.

Passo 1

O enunciado pede uma aplicação linear
\,f:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3}
tal que o núcleo de f seja
\ker(f)=\span\{(1,0,0,0),\,(0,1,0,0)\}
e a imagem de f seja
\Im(f)=\span\{(1,0,0),\,(0,0,1)\}.
Vamos usar o Teorema do Núcleo e da Imagem e definir f em uma base adequada de \mathbb{R}^4.

Passo 2

Pela definição, \dim\ker(f)=2.
Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem,
\dim\mathbb{R}^4=\dim\ker(f)+\dim\Im(f) \quad\Longrightarrow\quad 4=2+\dim\Im(f),
logo \dim\Im(f)=2, o que bate com os dois geradores dados para a imagem.

Passo 3

Escolhemos a base canônica de \mathbb{R}^4
\{e_1,e_2,e_3,e_4\} com
e_1=(1,0,0,0),\quad e_2=(0,1,0,0),\quad e_3=(0,0,1,0),\quad e_4=(0,0,0,1).
Como \ker(f) deve ser \span\{e_1,e_2\}, definimos
f(e_1)=0,\quad f(e_2)=0.

Passo 4

Para que \Im(f)=\span\{(1,0,0),(0,0,1)\}, basta definir
f(e_3) = (1,0,0), \quad f(e_4) = (0,0,1).

Passo 5

Como f é linear e \{e_i\} base, para (x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4 temos
f(x_1,x_2,x_3,x_4) = x_1\,f(e_1) + x_2\,f(e_2) + x_3\,f(e_3) + x_4\,f(e_4) = (x_3,\,0,\,x_4).
Verificamos que
\ker(f)=\{(x_1,x_2,0,0)\}=\span\{e_1,e_2\}
e
\Im(f)=\{(x_3,0,x_4)\}=\span\{(1,0,0),(0,0,1)\}.

Resposta

\boxed{f(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_3,\,0,\,x_4).}

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