Construa uma função linear
eujo kernel é gerado por
e cuja imagem é gerada por
.
Passo 1
O enunciado pede uma aplicação linear
tal que o núcleo de seja
e a imagem de seja
.
Vamos usar o Teorema do Núcleo e da Imagem e definir em uma base adequada de
.
tal que o núcleo de
e a imagem de
.
Vamos usar o Teorema do Núcleo e da Imagem e definir
Passo 2
Pela definição,
.
Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem,
Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem,
logo
, o que bate com os dois geradores dados para a imagem.
Passo 3
Escolhemos a base canônica de
com
Como
deve ser
, definimos
Passo 4
Para que
, basta definir
Passo 5
Como
é linear e
base, para
temos
Verificamos que
e
.
e
.