Classifique, dê todos os elementos e esboce o gráfico de cada uma das curvas com equações dadas a seguir:
16 x^{2}+9 y^{2}-96 x+72 y+144=0

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
16x^{2} + 9y^{2} - 96x + 72y + 144 = 0
e pede para 1) classificar o tipo de cônica, 2) encontrar todos os elementos (centro, eixos, vértices, focos, excentricidade e diretrizes) e 3) esboçar o gráfico. O método é completar o quadrado para reduzir à forma canônica de uma elipse.

Passo 2

Agrupamos termos em x e em y e completamos o quadrado:
16(x^{2}-6x) \;+\; 9(y^{2}+8y)\;+\;144=0.
Como
x^{2}-6x = (x-3)^{2} - 9, \quad y^{2}+8y = (y+4)^{2} - 16,
substituímos:

Passo 3

16\bigl((x-3)^{2}-9\bigr) + 9\bigl((y+4)^{2}-16\bigr) +144 = 0
16(x-3)^{2} -144 + 9(y+4)^{2} -144 +144 = 0
16(x-3)^{2} + 9(y+4)^{2} = 144 \quad\longrightarrow\quad \frac{(x-3)^{2}}{9} \;+\;\frac{(y+4)^{2}}{16} = 1.

Passo 4

Da forma
\frac{(x-3)^{2}}{3^{2}} + \frac{(y+4)^{2}}{4^{2}} = 1
reconhecemos uma elipse de centro (3,-4).
  • Semi-eixos: b = 3 (horizontal) e a = 4 (vertical).
  • Vértices: no eixo maior (vertical) (3,-4\pm4) que são (3,0) e (3,-8); no eixo menor (horizontal) (3\pm3,-4) que são (6,-4) e (0,-4).
  • Parâmetro focal:
c^{2} = a^{2}-b^{2} = 16 - 9 = 7, \quad c = \sqrt7,
logo focos em (3,-4\pm\sqrt7).
  • Excentricidade:
e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt7}{4}.
  • Diretrizes (para elipse vertical):
y + 4 = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{4}{\sqrt7/4} = \pm \frac{16}{\sqrt7},
isto é
y = -4 \pm \frac{16}{\sqrt7}.

Passo 5

Para esboçar, plote o centro em (3,-4), marque os vértices (3,0),(3,-8),(6,-4),(0,-4), desenhe a elipse passando por esses pontos e indique os focos (3,-4\pm\sqrt7) ao longo do eixo maior.

Resposta

Elipse de equação canônica
\frac{(x-3)^{2}}{9} + \frac{(y+4)^{2}}{16} = 1,
centro (3,-4), semi-eixos a=4 (vertical) e b=3 (horizontal),
vértices (3,0),(3,-8),(6,-4),(0,-4),
focos (3,-4\pm\sqrt7),
excentricidade e=\tfrac{\sqrt7}{4},
diretrizes y = -4 \pm \tfrac{16}{\sqrt7}.

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