Para cada transformação abaixo, determine bases para o núcleo e a imagem:
(b) T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(x+2 y, y-z, x+2 z).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(x+2y,\;y-z,\;x+2z).
O que é pedido:
  • Determinar uma base para o núcleo de T (ou seja, encontrar todos os vetores (x,y,z) tais que T(x,y,z)=\mathbf{0}).
  • Determinar uma base para a imagem de T (ou seja, encontrar um conjunto de vetores que gere o conjunto \{T(v)\mid v\in\mathbb{R}^3\} e seja linearmente independente).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a fórmula explícita de T em coordenadas (x,y,z).

Passo 2

Breve explicação do que significa cada conjunto e como vamos achar:
  • Núcleo (ker): é o conjunto de soluções do sistema linear T(x,y,z)=\mathbf{0}. Na prática, resolvemos a equação matricial A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, onde A é a matriz de T na base canônica.
  • Imagem (im): é o subespaço gerado pelas colunas da matriz A (cada coluna é T aplicado a um vetor da base canônica). Para achar uma base da imagem, tomamos as colunas e removemos dependências lineares (ficam as colunas-pivô).
Vou então montar a matriz de T na base canônica e usar resolução de sistema e verificação de combinação linear.

Passo 3

Calcular as imagens dos vetores da base canônica e montar a matriz A.
  • T(1,0,0)= (1+2\cdot0,\;0-0,\;1+2\cdot0) = (1,0,1).
  • T(0,1,0)= (0+2\cdot1,\;1-0,\;0+2\cdot0) = (2,1,0).
  • T(0,0,1)= (0+2\cdot0,\;0-1,\;0+2\cdot1) = (0,-1,2).
Portanto as colunas da matriz A (na base canônica) são esses vetores. Assim
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] 1 & 0 & 2 \end{pmatrix},
onde a coluna 1 é v_1=(1,0,1), a coluna 2 é v_2=(2,1,0) e a coluna 3 é v_3=(0,-1,2).]

Passo 4

Encontrar o núcleo resolvendo A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\mathbf{0}\). Escrevendo o sistema de equações: \[\begin{cases} x+2y+0z=0,\\[4pt] 0x+y-z=0,\\[4pt] x+0y+2z=0. \end{cases}
Resolver passo a passo:
  • A segunda equação dá y-z=0\], logo \(z=y.
  • A primeira equação dá x+2y=0, logo x=-2y.
  • Verificar a terceira equação: substituindo x=-2y e z=y obtemos -2y+2y=0, que é verdadeira — o sistema é consistente.
Portanto todos os vetores do núcleo têm a forma
(x,y,z)=(-2y,\;y,\;y)=y(-2,1,1).
Tomando y como parâmetro t\in\mathbb{R}, obtemos \ker(T)=\text{span}\{(-2,1,1)\}.
Isto mostra que o núcleo é um subespaço de dimensão 1 gerado por (-2,1,1).]

Passo 5

Encontrar a imagem: \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}\), onde \[v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 2\end{pmatrix}.
Precisamos extrair uma base, ou seja, eliminar vetores redundantes verificando dependências lineares.
Tentar escrever v_3 como combinação de v_1 e v_2:
procurar escalares a,b tais que a v_1 + b v_2 = v_3. Isso gera o sistema
\begin{cases} a+2b=0,\\[4pt] 0\cdot a + 1\cdot b = -1,\\[4pt] a + 0\cdot b = 2. \end{cases}
Da segunda equação b=-1\]. Da terceira \(a=2. Esses valores satisfazem a primeira pois 2+2(-1)=0. Logo
v_3 = 2v_1 - v_2.
Isso mostra que v_3 é combinação linear de v_1 e v_2, portanto não é necessário para gerar a imagem.
Verificar que v_1 e v_2 são linearmente independentes: se c_1 v_1 + c_2 v_2 = 0, das componentes obtemos c_1+2c_2=0 e c_2=0 (segunda componente), então c_1=0. Assim são independentes.
Portanto uma base para \operatorname{Im}(T) é \{v_1,v_2\}:
\operatorname{Im}(T)=\text{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}\right\},
de dimensão 2. (Isso também é coerente com o teorema posto: \dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T=3.)]

Passo 6

Resumo final e pequeno incentivo: encontramos explicitamente a base do núcleo e uma base da imagem, com todos os passos de resolução por sistema e verificação de dependência. Está tudo consistente com as contas e com o teorema da dimensão.

Resposta

Base do núcleo: \{(-2,1,1)\}
Base da imagem: \left\{\,(1,0,1),\\ (2,1,0)\,\right\}

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