Seja T: R^{3} \rightarrow P_{3}(R), definida por: T(1,0,0)=t^{2}-1, T(0,1,0)=t e T(0,0,1)=2.
I. Escolha bases \alpha e \beta, de modo adequado, e determine a matriz { }^{[T]_{\beta}^{\alpha}}.
II. Calcule:
a) T^{-1}\left(x t^{2}+y t+z\right)
b) \left[\mathrm{T}^{-1}\right]_{\alpha}^{\beta}
c) \left[\mathrm{T}^{-1}\right]_{\alpha}^{\beta} \cdot[\mathrm{T}]_{\beta}^{\alpha}
O que você pode concluir dos itens anteriores ?
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to P_3(\mathbb{R}),
definida por
T(1,0,0)=t^2-1,\quad T(0,1,0)=t,\quad T(0,0,1)=2.
Aqui entendemos P_3(\mathbb{R}) como o espaço de dimensão 3 dos polinômios de grau <=2, cujo base natural escolhemos
Em I queremos a matriz {[T]}_{\beta}^{\alpha}. Em II, a inversa T^{-1}, sua matriz \bigl[{T}^{-1}\bigr]_{\alpha}^{\beta} e o produto com {[T]}_{\beta}^{\alpha}.
Passo 2
Para achar {[T]}_{\beta}^{\alpha}, escrevemos cada T(e_i) nas coordenadas da base \beta.
II b) A matriz de T^{-1} relativa às bases \beta (domínio) e \alpha (contradomínio) tem colunas dadas por T^{-1}(1), T^{-1}(t), T^{-1}(t^2). Usando o resultado de II a):
Isso mostra que as matrizes são mutuamente inversas.
Resposta
Concluímos que T é um isomorfismo de \mathbb{R}^3 em P_3(\mathbb{R}) (grau <=2), e que as matrizes {[T]}_{\beta}^{\alpha} e \bigl[{T}^{-1}\bigr]_{\alpha}^{\beta} são inversas entre si.