Seja T: R^{3} \rightarrow P_{3}(R), definida por: T(1,0,0)=t^{2}-1, T(0,1,0)=t e T(0,0,1)=2.
I. Escolha bases \alpha e \beta, de modo adequado, e determine a matriz { }^{[T]_{\beta}^{\alpha}}.
II. Calcule:
a) T^{-1}\left(x t^{2}+y t+z\right)
b) \left[\mathrm{T}^{-1}\right]_{\alpha}^{\beta}
c) \left[\mathrm{T}^{-1}\right]_{\alpha}^{\beta} \cdot[\mathrm{T}]_{\beta}^{\alpha}
O que você pode concluir dos itens anteriores ?

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to P_3(\mathbb{R}),
definida por
T(1,0,0)=t^2-1,\quad T(0,1,0)=t,\quad T(0,0,1)=2.
Aqui entendemos P_3(\mathbb{R}) como o espaço de dimensão 3 dos polinômios de grau <=2, cujo base natural escolhemos
\beta=\{1,\;t,\;t^2\}.
No domínio tomamos a base canônica
\alpha=\{e_1=(1,0,0),\;e_2=(0,1,0),\;e_3=(0,0,1)\}.
Em I queremos a matriz {[T]}_{\beta}^{\alpha}. Em II, a inversa T^{-1}, sua matriz \bigl[{T}^{-1}\bigr]_{\alpha}^{\beta} e o produto com {[T]}_{\beta}^{\alpha}.

Passo 2

Para achar {[T]}_{\beta}^{\alpha}, escrevemos cada T(e_i) nas coordenadas da base \beta.
  • T(e_1)=t^2-1 = -1\cdot1 + 0\cdot t +1\cdot t^2, coordenadas \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
  • T(e_2)=t = 0\cdot1 +1\cdot t +0\cdot t^2, coordenadas \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
  • T(e_3)=2 = 2\cdot1 +0\cdot t +0\cdot t^2, coordenadas \begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
    Assim
{[T]}_{\beta}^{\alpha} =\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

II a) Para p(t)=x\,t^2+y\,t+z suponha T(a,b,c)=p. Nas coordenadas da base \beta,
T(a,b,c)\longleftrightarrow \begin{pmatrix}-a+2c\\\ b\\\ a\end{pmatrix} \;=\;\begin{pmatrix}z\\\ y\\\ x\end{pmatrix}.
Dessa igualdade segue
a = x,\quad b = y,\quad -x + 2c = z\;\Longrightarrow\;c=\frac{z+x}{2}.
Logo
T^{-1}(x\,t^2 + y\,t + z) = (\,x,\;y,\;(z+x)/2\,).

Passo 4

II b) A matriz de T^{-1} relativa às bases \beta (domínio) e \alpha (contradomínio) tem colunas dadas por T^{-1}(1), T^{-1}(t), T^{-1}(t^2). Usando o resultado de II a):
T^{-1}(1)=(0,0,\tfrac12),\quad T^{-1}(t)=(0,1,0),\quad T^{-1}(t^2)=(1,0,\tfrac12).
Portanto
\bigl[{T}^{-1}\bigr]_{\alpha}^{\beta} =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0\\\ \tfrac12 & 0 & \tfrac12 \end{pmatrix}.

Passo 5

II c) Calculamos o produto
\bigl[{T}^{-1}\bigr]_{\alpha}^{\beta}\;\cdot\;{[T]}_{\beta}^{\alpha} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0\\\ \tfrac12 & 0 & \tfrac12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Isso mostra que as matrizes são mutuamente inversas.

Resposta

Concluímos que T é um isomorfismo de \mathbb{R}^3 em P_3(\mathbb{R}) (grau <=2), e que as matrizes {[T]}_{\beta}^{\alpha} e \bigl[{T}^{-1}\bigr]_{\alpha}^{\beta} são inversas entre si.

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