Dê, se possível, as transformações lineares pedidas abaixo, através de uma matriz associada.
T_{2}: M_{2}(R) \rightarrow P_{3}(R), injetora.

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
T_{2}\colon M_{2}(\mathbb{R})\to P_{3}(\mathbb{R})
que seja injetora. Note que \dim M_{2}(\mathbb{R})=4 e \dim P_{3}(\mathbb{R})=4, logo para ser injetora basta ser um isomorfismo entre esses espaços de mesma dimensão.

Passo 2

Escolhemos as bases canônicas:
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\; E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\; E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix},\; E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}
em M_{2}(\mathbb{R}) e
\{1,\;x,\;x^{2},\;x^{3}\} em P_{3}(\mathbb{R}).

Passo 3

Definimos T_{2} mandando cada matriz da base em um monômio distinto:
T_{2}(E_{11})=1,\quad T_{2}(E_{12})=x,\quad T_{2}(E_{21})=x^{2},\quad T_{2}(E_{22})=x^{3}.
Assim, para
\displaystyle A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}
temos
T_{2}(A)=a + b\,x + c\,x^{2} + d\,x^{3}.

Passo 4

A matriz de T_{2} relativa a essas bases é justamente a identidade 4\times4:
[\,T_{2}\,] =\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\\\ 0&1&0&0\\\\ 0&0&1&0\\\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Como [T_{2}] tem posto 4, igual à dimensão do domínio, T_{2} é injetora (na verdade bijetora).

Resposta

T_{2}\colon \begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} \mapsto a + b\,x + c\,x^{2} + d\,x^{3}, \qquad [\,T_{2}\,]=I_{4}.

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