Dê, se possível, as transformações lineares pedidas abaixo, através de uma matriz associada.
T_{3}: M_{2}(R) \rightarrow M_{2}(R), \operatorname{dim} N\left(T_{3}\right)=2

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
\;T_{3}:M_{2}(\mathbb{R})\to M_{2}(\mathbb{R})
tal que \dim N(T_{3})=2.
Como \dim M_{2}(\mathbb{R})=4, pelo Teorema da Dimensão (ou Teorema de Rango-Nulidade) temos
\operatorname{rank}(T_{3})+\dim N(T_{3})=4 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{rank}(T_{3})=2.
Vamos construir um exemplo explícito usando uma base canônica de M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 2

Escolhemos a base
\mathcal{B}=\{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\},
onde
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\; E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\; E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix},\; E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Sob o isomorfismo natural \varphi:M_{2}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^{4} dado por
\varphi\bigl(aE_{11}+bE_{12}+cE_{21}+dE_{22}\bigr)=(a,b,c,d)^{T},
uma transformação T_{3} será representada por uma matriz 4\times4.

Passo 3

Definimos
T_{3}\!\bigl(\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\bigr) = \begin{pmatrix}a & b \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
É claro que T_{3} é linear e, em coordenadas pela base \mathcal{B},
\varphi\bigl(T_{3}(a,b,c,d)\bigr) = (a,b,0,0)^{T} = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\\\ 0&1&0&0\\\\ 0&0&0&0\\\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\b\c\d\end{pmatrix}.
Portanto, a matriz associada é
[T_{3}]_{\mathcal{B}} \;=\; \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

O núcleo de T_{3} é dado pelos A=(a,b,c,d) tais que T_{3}(A)=0, ou seja
(a,b,0,0)^{T}=(0,0,0,0)^{T} \quad\Longleftrightarrow\quad a=0,\;b=0,
enquanto c e d são livres. Logo
\dim N(T_{3})=2 e \operatorname{rank}(T_{3})=2, como queríamos.

Resposta

A transformação linear
T_{3}\!\bigl(\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\bigr) = \begin{pmatrix}a & b \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}
é associada, na base \{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}, à matriz
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
e satisfaz \dim N(T_{3})=2.

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