Seja
a transformação linear dada por:
é sobrejetora?
Passo 1
O exercício nos dá a transformação linear
definida por
. Queremos saber se ela é sobrejetora, ou seja, se a imagem de
é todo
. Para isso vamos usar o conceito de posto de uma matriz:
é sobrejetora exatamente quando o posto da matriz associada é igual à dimensão do contradomínio (que é 2).
Passo 2
Primeiro escrevemos a matriz
de
em relação às bases canônicas. As colunas vêm dos coeficientes de
em cada componente de
:
Passo 3
Agora calculamos o posto de
. Basta encontrar um menor quadrado de ordem 2 não-nulo. Por exemplo, considere as duas primeiras colunas:
Como encontramos um menor de ordem 2 diferente de zero, o posto de
é pelo menos 2. Mas
tem só 2 linhas, logo o posto máximo é 2. Portanto
Passo 4
Como o posto de
é 2, e o contradomínio de
tem dimensão 2, concluímos que
. Assim,
é uma transformação sobrejetora.
Resposta
Sim,
é sobrejetora.