Seja T: R^3 R^2 a transformação linear dada por: T(x, y, z)=(x-y+4 z, 3 x+y+8 z) é sobrejetora?

Passo 1

O exercício nos dá a transformação linear T: R^3 to R^2 definida por T(x,y,z) = (x - y + 4z,;3x + y + 8z). Queremos saber se ela é sobrejetora, ou seja, se a imagem de T é todo R^2. Para isso vamos usar o conceito de posto de uma matriz: T é sobrejetora exatamente quando o posto da matriz associada é igual à dimensão do contradomínio (que é 2).

Passo 2

Primeiro escrevemos a matriz A de T em relação às bases canônicas. As colunas vêm dos coeficientes de x,y,z em cada componente de T:
A = 1 & -1 & 4 3 & 1 & 8

Passo 3

Agora calculamos o posto de A. Basta encontrar um menor quadrado de ordem 2 não-nulo. Por exemplo, considere as duas primeiras colunas:
det1 & -1 3 & 1 = 1cdot1 - (-1)cdot3 = 1 + 3 = 4 neq 0
Como encontramos um menor de ordem 2 diferente de zero, o posto de A é pelo menos 2. Mas A tem só 2 linhas, logo o posto máximo é 2. Portanto rank(A)=2

Passo 4

Como o posto de A é 2, e o contradomínio de T tem dimensão 2, concluímos que Im(T) = R^2. Assim, T é uma transformação sobrejetora.

Resposta

Sim, T é sobrejetora.

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