Verifique qual transformação linear abaixo é sobrejetora: , definido por
Passo 1
O enunciado apresenta a transformação linear definida por . O conteúdo é transformações lineares e sobrejetividade, e vamos precisar da representação matricial de e de como usar o determinante para testar se é sobrejetora.
Passo 2
A matriz associada a em relação à base canônica de é
Passo 3
Para transformar linearmente em surjetora, precisamos que a imagem de T seja todo R^2. Em dimensão finita igual, basta verificar se T é invertível, ou seja, se det(A) neq 0.
Passo 4
Calculamos o determinante:
det(A) = 1 cdot 2 - (-1) cdot 1 = 2 + 1 = 3
Passo 5
Como det(A) = 3 neq 0, a matriz é invertível, o que implica que T é injetora e, consequentemente, sobrejetora.
Resposta
A transformação T é sobrejetora, pois o determinante da matriz associada é 3 neq 0.