Verifique qual transformação linear abaixo é sobrejetora:
T: R^2 R^2, definido por T(x, y)=(x-y, x+2 y)

Passo 1

O enunciado apresenta a transformação linear T: R^2 to R^2 definida por T(x,y) = (x - y,, x + 2y). O conteúdo é transformações lineares e sobrejetividade, e vamos precisar da representação matricial de T e de como usar o determinante para testar se é sobrejetora.

Passo 2

A matriz associada a T em relação à base canônica de R^2 é
A = 1 & -1 1 & 2

Passo 3

Para transformar linearmente em surjetora, precisamos que a imagem de T seja todo R^2. Em dimensão finita igual, basta verificar se T é invertível, ou seja, se det(A) neq 0.

Passo 4

Calculamos o determinante:
det(A) = 1 cdot 2 - (-1) cdot 1 = 2 + 1 = 3

Passo 5

Como det(A) = 3 neq 0, a matriz é invertível, o que implica que T é injetora e, consequentemente, sobrejetora.

Resposta

A transformação T é sobrejetora, pois o determinante da matriz associada é 3 neq 0.

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