Verifique qual transformação linear abaixo é injetora:
T: R^2 R^2, definido por T(x, y)=(x-2 y,-2 x+4 y)

Passo 1

O enunciado pede pra verificar se a transformação linear T:R^2toR^2, definida por
T(x,y)=(x-2y,,-2x+4y),
é injetora. O conteúdo é injetividade de transformações lineares e vamos precisar usar a definição: T é injetora se, e somente se, ker(T)=(0,0).

Passo 2

Para achar ker(T), igualamos T(x,y) ao vetor nulo e resolvemos o sistema
x-2y=0, -2x+4y=0

Passo 3

Da primeira equação vem x=2y. Substituindo na segunda:
-2(2y)+4y=-4y+4y=0,
que é satisfeita para todo y. Portanto
ker(T)=(2y,y):yinR=span(2,1),
que contém vetores não nulos.

Passo 4

Como ker(T) não é apenas o vetor (0,0), concluímos que T não satisfaz a condição de injetividade.

Resposta

A transformação T não é injetora.

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