Seja A uma matriz quadrada n times n com det A=0. Considere as afirmativas abaixo:
I - A não é sobrejetiva.
II - O conjunto de colunas de A é linearmente independente.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei

Passo 1

Então, temos uma matriz quadrada de ordem com determinante igual a zero ( ). O assunto aqui é Álgebra Linear, especificamente envolvendo determinantes, propriedades de matrizes e conceitos como sobrejetividade e independência linear. Para resolver, vamos precisar entender o que significa o determinante ser zero e como isso afeta as propriedades da matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se o determinante de uma matriz quadrada é zero ( ), isso significa que a matriz não é invertível. Uma matriz não invertível também é chamada de singular.

Passo 3

Agora, vamos analisar a afirmativa I: " não é sobrejetiva". Em Álgebra Linear, uma transformação linear representada por uma matriz quadrada é sobrejetiva se para todo vetor no espaço de chegada, existe pelo menos um vetor no espaço de partida que se mapeia para ele. Como , não é invertível e, portanto, não é sobrejetiva. Logo, a afirmativa I é verdadeira.

Passo 4

Vamos para a afirmativa II: “O conjunto de colunas de é linearmente independente”. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhuma coluna pode ser escrita como combinação linear das outras. Porém, quando , isso indica que as colunas de são linearmente dependentes. Portanto, a afirmativa II é falsa.

Resposta

A opção correta é a (A) Apenas I é verdadeira.

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