Seja
uma matriz quadrada
. Considere as afirmativas abaixo:
I -
não é sobrejetiva.
II - O conjunto de colunas de
é linearmente independente.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
I -
II - O conjunto de colunas de
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Passo 1
Então, temos uma matriz quadrada
de ordem
com determinante igual a zero (
). O assunto aqui é Álgebra Linear, especificamente envolvendo determinantes, propriedades de matrizes e conceitos como sobrejetividade e independência linear. Para resolver, vamos precisar entender o que significa o determinante ser zero e como isso afeta as propriedades da matriz
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se o determinante de uma matriz quadrada é zero (
), isso significa que a matriz não é invertível. Uma matriz não invertível também é chamada de singular.
Passo 3
Agora, vamos analisar a afirmativa I: "
não é sobrejetiva". Em Álgebra Linear, uma transformação linear representada por uma matriz quadrada é sobrejetiva se para todo vetor no espaço de chegada, existe pelo menos um vetor no espaço de partida que se mapeia para ele. Como
,
não é invertível e, portanto, não é sobrejetiva. Logo, a afirmativa I é verdadeira.
Passo 4
Vamos para a afirmativa II: “O conjunto de colunas de
é linearmente independente”. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhuma coluna pode ser escrita como combinação linear das outras. Porém, quando
, isso indica que as colunas de
são linearmente dependentes. Portanto, a afirmativa II é falsa.
Resposta
A opção correta é a (A) Apenas I é verdadeira.