Seja W o subespaço W=\left\{\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{3} / 5 x-3 y+z=0\right\}. Determine a matriz do operador de projeção ortogonal P_{W}, na base canônica de \mathbb{R}^{3}.
Passo 1
O subespaço W\subset\mathbb{R}^3 é o plano dado por
5x-3y+z=0,
ou seja, W é o espaço ortogonal ao vetor normal
n = \begin{pmatrix}5\\\ -3\\\ 1\end{pmatrix}.
O objetivo é encontrar a matriz do operador de projeção ortogonal P_W na base canônica de \mathbb{R}^3. Para isso usaremos a fórmula que expressa a projeção ortogonal sobre o complemento de uma direção:
P_W = I - \frac{n\,n^T}{n^T n}.
Passo 2
Calculemos primeiro o produto interno de n consigo mesmo: