Seja W o subespaço W=\left\{\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{3} / 5 x-3 y+z=0\right\}. Determine a matriz do operador de projeção ortogonal P_{W}, na base canônica de \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O subespaço W\subset\mathbb{R}^3 é o plano dado por
5x-3y+z=0,
ou seja, W é o espaço ortogonal ao vetor normal
n = \begin{pmatrix}5\\\ -3\\\ 1\end{pmatrix}.
O objetivo é encontrar a matriz do operador de projeção ortogonal P_W na base canônica de \mathbb{R}^3. Para isso usaremos a fórmula que expressa a projeção ortogonal sobre o complemento de uma direção:
P_W = I - \frac{n\,n^T}{n^T n}.

Passo 2

Calculemos primeiro o produto interno de n consigo mesmo:
n^T n = 5^2 + (-3)^2 + 1^2 = 25 + 9 + 1 = 35.

Passo 3

Formemos a matriz exterior n\,n^T:
n\,n^T = \begin{pmatrix}5\\\ -3\\\ 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5 & -3 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25 & -15 & 5\\\\ -15 & 9 & -3\\\\ 5 & -3 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Então
\frac{n\,n^T}{n^T n} = \frac{1}{35} \begin{pmatrix} 25 & -15 & 5\\\\ -15 & 9 & -3\\\\ 5 & -3 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Finalmente, obtemos
P_W = I - \frac{n\,n^T}{n^T n} = I - \frac{1}{35} \begin{pmatrix} 25 & -15 & 5\\\\ -15 & 9 & -3\\\\ 5 & -3 & 1 \end{pmatrix}.
Subtraindo de I (a matriz identidade 3\times3), temos
P_W = \frac{1}{35} \begin{pmatrix} 35&0 &0\\\\ 0 &35&0\\\\ 0 &0 &35 \end{pmatrix} - \frac{1}{35} \begin{pmatrix} 25 & -15 & 5\\\\ -15 & 9 & -3\\\\ 5 & -3 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{35} \begin{pmatrix} 10 & 15 & -5\\\\ 15 & 26 & 3\\\\ -5 & 3 & 34 \end{pmatrix}.

Resposta

P_W = \frac{1}{35} \begin{pmatrix} 10 & 15 & -5\\\\ 15 & 26 & 3\\\\ -5 & 3 & 34 \end{pmatrix}.

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