Seja T:
3 \rightarrow \mathbb{R}^{3} um operador linear cuja representação matricial na base de
3, \beta=
1
0
0
,1
-1
0
,-1
1
1
é: A=[T]_{\beta}=
1 1 1
1 1 1
1 1 1
. Mostre que T é diagonalizável e calcule uma base formada por autovetores.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cuja matriz na base
\beta=\{b_1=(1,0,0),\,b_2=(1,-1,0),\,b_3=(-1,1,1)\} é
A = [T]_{\beta} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Precisamos mostrar que T é diagonalizável e encontrar uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de T.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I) = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 1 & 1\\\\ 1 & 1-\lambda & 1\\\\ 1 & 1 & 1-\lambda \end{vmatrix}.
Expandindo (por exemplo, pela primeira linha) e simplificando chega-se a
\det(A-\lambda I) =\lambda^2(3-\lambda).
Logo os autovalores são
\lambda_1=3\quad(\text{multiplicidade algébrica }1), \qquad \lambda_2=0\quad(\text{multiplicidade algébrica }2).éé

Passo 3

Autovetores para \lambda=3. Resolvemos
(A-3I)x=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1\\\\ 1 & -2 & 1\\\\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} =0.
As três equações são equivalentes a
x_1=x_2=x_3.
Tomando \,x_1=x_2=x_3=1, um autovetor em coordenadas na base \beta é
[x]_{\beta}=(1,1,1)^T.

Passo 4

Autovetores para \lambda=0. Resolvemos
A\,x=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} =0,
que dá a única condição
x_1+x_2+x_3=0
e, portanto, espaço próprio de dimensão 2. Por exemplo, em coordenadas na base \beta podemos escolher
[x^{(1)}]_{\beta}=(1,-1,0)^T, \qquad [x^{(2)}]_{\beta}=(1,0,-1)^T.

Passo 5

Como a soma das dimensões dos espaços próprios é 1+2=3, igual à dimensão do espaço, T é diagonalizável.

Passo 6

Agora convertemos esses vetores de coordenadas em \beta para vetores em coordenadas canônicas. Lembre-se que
v = x_1\,b_1 + x_2\,b_2 + x_3\,b_3.
  1. Para \lambda=3, [x]_{\beta}=(1,1,1)
v_3 = b_1+b_2+b_3 =(1,0,0)+(1,-1,0)+(-1,1,1) =(1,0,1).
  1. Para \lambda=0, [x^{(1)}]_{\beta}=(1,-1,0)
v_0^{(1)}=b_1 - b_2 =(1,0,0)-(1,-1,0) =(0,1,0),
e [x^{(2)}]_{\beta}=(1,0,-1)
v_0^{(2)}=b_1 - b_3 =(1,0,0)-(-1,1,1) =(2,-1,-1).

Resposta

Uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de T é
\{\,v_3=(1,0,1),\;v_0^{(1)}=(0,1,0),\;v_0^{(2)}=(2,-1,-1)\},
correspondendo aos autovalores 3,0,0.

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