Seja T:
3 \rightarrow \mathbb{R}^{3} um operador linear cuja representação matricial na base de
3, \beta=
1
0
0
,1
-1
0
,-1
1
1
é: A=[T]_{\beta}=
1 1 1
1 1 1
1 1 1
. Mostre que T é diagonalizável e calcule uma base formada por autovetores.
1
0
0
,1
-1
0
,-1
1
1
é: A=[T]_{\beta}=
1 1 1
1 1 1
1 1 1
. Mostre que T é diagonalizável e calcule uma base formada por autovetores.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear
cuja matriz na base
é
Precisamos mostrar que
é diagonalizável e encontrar uma base de
formada por autovetores de
.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de
:
Expandindo (por exemplo, pela primeira linha) e simplificando chega-se a
Logo os autovalores são
Passo 3
Autovetores para
. Resolvemos
As três equações são equivalentes a
Tomando
, um autovetor em coordenadas na base
é
Passo 4
Autovetores para
. Resolvemos
que dá a única condição
e, portanto, espaço próprio de dimensão 2. Por exemplo, em coordenadas na base
podemos escolher
Passo 5
Como a soma das dimensões dos espaços próprios é
, igual à dimensão do espaço,
é diagonalizável.
Passo 6
Agora convertemos esses vetores de coordenadas em
para vetores em coordenadas canônicas. Lembre-se que
- Para
, dá
- Para
, dá
e
dá
Resposta
Uma base de
formada por autovetores de
é
correspondendo aos autovalores
.