Determine os valores de k \in \mathbb{R} de forma que seja diagonalizável a matriz, A=
1 k 0
0 2 0
0 0 1
.

Passo 1

O enunciado pede os valores de k\in\mathbb{R} para os quais a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & k & 0\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
é diagonalizável. Para isso vamos usar o critério: uma matriz é diagonalizável se, para cada autovalor \lambda, a multiplicidade geométrica (dimensão do autespaço) coincide com a multiplicidade algébrica e a soma dessas dimensões é igual a 3.

Passo 2

Como A é triangular superior, seus autovalores são as entradas da diagonal. Assim,
\mathrm{diag}(A) = (1,2,1)
Logo, o autovalor 1 tem multiplicidade algébrica 2 e o autovalor 2 tem multiplicidade algébrica 1.

Passo 3

Compute o autespaço de \lambda=1\). Temos \[A - I = \begin{pmatrix} 0 & k & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
e o sistema (A-I)x=0 equivale a
\begin{cases} k\,y = 0,\\\ y = 0,\\\\ 0 = 0. \end{cases}
Dessa segunda equação já vem y=0\], e \(x e z são livres. Logo a dimensão do autespaço de 1 é 2 para todo k.

Passo 4

Compute o autespaço de \lambda=2\). Temos \[A - 2I = \begin{pmatrix} -1 & k & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}
e o sistema (A-2I)x=0
\begin{cases} -x + k\,y = 0,\\\\ 0 = 0,\\\\ -z = 0. \end{cases}
Isto impõe x = k\,y\] e \(z=0, com uma variável livre ( y). Logo a dimensão do autespaço de 2 é 1 para todo k.

Passo 5

Somando as dimensões dos autespaços: para \lambda=1 é 2 e para \lambda=2 é 1, totalizando 3, igual à ordem de A. Portanto A é diagonalizável para todo valor de k\in\mathbb{R}.

Resposta

Todos os k\in\mathbb{R}.

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