Seja E=[(5,3)^T,(3,2)^T] e sejam x=(1,1)^T, y=(1,-1)^T e z=(10,7)^T. Encontre os vetores de coordenadas [x]E,[y]E e [z]E.

Passo 1

O enunciado dá o espaço R^2 com a base
E = lv1=(5,3)^T,;v2=(3,2)^Tr
e pede os vetores de coordenadas de
x=(1,1)^T, y=(1,-1)^T e z=(10,7)^T
nessa base.
Para cada um, vamos escrever
a,v1 + b,v2 = w
e resolver o sistema linear 2times 2 usando a Regra de Cramer.

Passo 2

Calculemos primeiro o determinante da matriz cujas colunas são v1 e v2:
det5 & 33 & 2 =5cdot2 - 3cdot3 =10 -9 =1
Como o determinante é ,1neq0, a base é invertível e podemos usar Cramer.

Passo 3

Para
Pela Regra de Cramer,
Logo ([x]_E = (-1,2)^T].

Passo 4

Para
Pela Regra de Cramer,
Logo ([y]_E = (5,-8)^T].

Passo 5

Para
Pela Regra de Cramer,
Logo ([z]_E = (-1,5)^T].

Resposta

[x]E = (-1,2)^T,\n [y]E = (5,-8)^T,\n [z]E = (-1,5)^T

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