Seja T o triângulo retângulo de vértices (0,0) (132,0) (0,44) percorrido no sentido anti-horário. Calcule integralT x y d x wed>= d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla integralT x y , dx wed>= dy sobre um triângulo retângulo T com vértices em (0,0), (132,0) e (0,44). Basicamente, precisamos encontrar a área sob a superfície definida por x y dentro desse triângulo. Para resolver isso, vamos usar o método de integrais duplas e determinar os limites de integração apropriados para a região triangular.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o triângulo no plano cartesiano. Os vértices estão em (0,0), (132,0) e (0,44), formando um triângulo retângulo com os catetos ao longo dos eixos x e y. A hipotenusa vai de (132,0) até (0,44).

Passo 3

Precisamos encontrar a equação da hipotenusa para definir os limites de integração. Vamos calcular a inclinação m da linha que liga (132,0) a (0,44):
m = 44 - 00 - 132 = -13
Então, a equação da reta é:
y = -13x + 44

Passo 4

Com a equação da hipotenusa, podemos definir os limites das integrais. O valor de x varia de 0 a 132. Para cada valor de x, y varia de 0 até a hipotenusa, ou seja, de 0 a -13x + 44.

Passo 5

Agora, montamos a integral dupla com esses limites:
integral0^132 integral0^-13x + 44 x y , dy , dx

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a y:
integral0^-13x + 44 x y , dy = x integral0^-13x + 44 y , dy

Passo 7

Integrando em y:
x [ y^22 ]0^-13x + 44 = x ( ( -13x + 44 )^2 2 )

Passo 8

Agora, expandimos o quadrado:
( -13x + 44 )^2 = 19x^2 - 883x + 1936
Então, a expressão fica:
x cdot 19x^2 - 883x + 1936 2 = x^318 - 44x^23 + 968x

Passo 9

Agora, integramos essa expressão em relação a x de 0 a 132:
integral0^132 ( x^318 - 44x^23 + 968x ) dx

Passo 10

Calculamos cada termo da integral:
integral x^318 dx = x^472 integral 44x^23 dx = 44x^39 integral 968x , dx = 484x^2

Passo 11

Aplicamos os limites de integração a cada termo:
[ x^472 ]0^132 - [ 44x^39 ]0^132 + [ 484x^2 ]0^132
= 132^472 - 44 cdot 132^39 + 484 cdot 132^2

Passo 12

Calculamos cada parte numericamente:
132^2 = 17,!424 132^3 = 2,!299,!968 132^4 = 303,!595,!776
Substituindo:
303,!595,!77672 - 44 cdot 2,!299,!9689 + 484 cdot 17,!424
= 4,!216,!331 - 11,!288,!720 + 8,!437,!616

Passo 13

Efetuando as operações:
4,!216,!331 - 11,!288,!720 = -7,!072,!389 -7,!072,!389 + 8,!437,!616 = 1,!365,!227

Resposta

A integral integralT x y , dx wed>= dy é igual a 1.365.227.

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