Seja
o triângulo retângulo de vértices
percorrido no sentido anti-horário. Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla
sobre um triângulo retângulo
com vértices em
,
e
. Basicamente, precisamos encontrar a área sob a superfície definida por
dentro desse triângulo. Para resolver isso, vamos usar o método de integrais duplas e determinar os limites de integração apropriados para a região triangular.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o triângulo no plano cartesiano. Os vértices estão em
,
e
, formando um triângulo retângulo com os catetos ao longo dos eixos
e
. A hipotenusa vai de
até
.
Passo 3
Precisamos encontrar a equação da hipotenusa para definir os limites de integração. Vamos calcular a inclinação
da linha que liga
a
:
Então, a equação da reta é:
Passo 4
Com a equação da hipotenusa, podemos definir os limites das integrais. O valor de
varia de 0 a 132. Para cada valor de
,
varia de 0 até a hipotenusa, ou seja, de 0 a
.
Passo 5
Agora, montamos a integral dupla com esses limites:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a
:
Passo 7
Integrando em
:
Passo 8
Agora, expandimos o quadrado:
Então, a expressão fica:
Passo 9
Agora, integramos essa expressão em relação a
de 0 a 132:
Passo 10
Calculamos cada termo da integral:
Passo 11
Aplicamos os limites de integração a cada termo:
Passo 12
Calculamos cada parte numericamente:
Substituindo:
Passo 13
Efetuando as operações:
Resposta
A integral
é igual a 1.365.227.