Seja T: V \rightarrow W T: V \rightarrow W linear.
Mostre que se Z \subseteq W Z \subseteq W é subespaço, então T-1(Z)=\{u \in V: T(u) \in Z\} T-1(Z)=\{u \in V: T(u) \in Z\} é subespaço de VV.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: V \to W e um subespaço Z \subseteq W. Precisamos mostrar que
T^{-1}(Z) = \{\,u\in V : T(u)\in Z\}
é subespaço de V. Para isso vamos verificar as três propriedades de subespaço: contém o vetor zero, fecha-se sob soma e sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar que T^{-1}(Z) não está vazio. Como T é linear,
T(0_V)=0_W.
E 0_W\in Z pois Z é subespaço. Logo 0_V\in T^{-1}(Z), ou seja, T^{-1}(Z)\neq\varnothing.

Passo 3

Verificar fechamento sob soma. Sejam u,v\in T^{-1}(Z). Então T(u)\in Z e T(v)\in Z. Como Z é subespaço,
T(u)+T(v)\in Z.
Pela linearidade de T temos
T(u+v)=T(u)+T(v)\in Z,
logo u+v\in T^{-1}(Z).

Passo 4

Verificar fechamento sob multiplicação por escalar. Seja u\in T^{-1}(Z) e \lambda escalar. Então T(u)\in Z e, como Z é subespaço,
\lambda \,T(u)\in Z.
Pela linearidade de T vale
T(\lambda u)=\lambda\,T(u)\in Z,
logo \lambda u\in T^{-1}(Z).

Resposta

Portanto, T^{-1}(Z) satisfaz as três propriedades de subespaço e, assim, é subespaço de V.

Exercícios relacionados