Seja
linear.
Mostre que se
é subespaço, então
é subespaço de VV.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
e um subespaço
. Precisamos mostrar que
é subespaço de
. Para isso vamos verificar as três propriedades de subespaço: contém o vetor zero, fecha-se sob soma e sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificar que
não está vazio. Como
é linear,
E
pois
é subespaço. Logo
, ou seja,
.
Passo 3
Verificar fechamento sob soma. Sejam
. Então
e
. Como
é subespaço,
Pela linearidade de
temos
logo
.
Passo 4
Verificar fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
e
escalar. Então
e, como
é subespaço,
Pela linearidade de
vale
logo
.
Resposta
Portanto,
satisfaz as três propriedades de subespaço e, assim, é subespaço de
.