Exercício 7. Defina Transformação Linear sobrejetora.

\mathrm{T}: V \rightarrow W T: V \rightarrow W é sobrejetora se \operatorname{Im}(\mathrm{T})=W \operatorname{Im}(T)=W, ou seja, para todo w \in W w \in W, existe v \in V v \in V tal que T(v)=w T(v)=w.

Passo 1

O enunciado pede a definição de “transformação linear sobrejetora”. Isso envolve a teoria de espaços vetoriais V e W, o conceito de transformação linear T\colon V\to W e, em particular, o conceito de imagem de T, \Im(T).

Passo 2

Uma transformação linear T\colon V\to W é chamada de sobrejetora (ou sobre) quando sua imagem coincide com todo o espaço de chegada W. Em outras palavras, a condição de sobrejetividade é
\Im(T)=W,
o que significa que, para cada vetor w\in W, existe pelo menos um vetor v\in V tal que
T(v)=w.

Resposta

Uma transformação linear T\colon V\to W é sobrejetora se e somente se \Im(T)=W, ou seja, para todo w\in W existe v\in V com T(v)=w.

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