Seja
a temperatura em
.
b)
Estando-se em
, qual a direção e sentido de maior crescimento da temperatura? Qual a taxa de crescimento nesta direção?
b)
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma função que descreve a temperatura em qualquer ponto
do espaço:
. A pergunta aqui é: estando em
, qual é a direção e o sentido em que a temperatura aumenta mais rapidamente? E qual é a taxa de aumento nessa direção? Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente da função, que nos ajuda a encontrar a direção de maior crescimento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que aponta na direção onde a função aumenta mais rápido. Além disso, a magnitude desse vetor nos dá a taxa de aumento nessa direção. Para encontrar o gradiente, a gente calcula as derivadas parciais da função em relação a
e a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Então, o gradiente
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto específico
:
Esse vetor
indica a direção de maior aumento da temperatura a partir do ponto
.
Passo 5
Para encontrar a direção de maior aumento, vamos normalizar o vetor gradiente. Isso significa transformar o vetor em um vetor unitário (com comprimento 1) que aponta na mesma direção. A fórmula para normalizar um vetor
é:
onde
é a magnitude do gradiente, calculada por:
Passo 6
Vamos calcular a magnitude do gradiente
:
Passo 7
Agora, vamos normalizar o gradiente para encontrar a direção:
Isso significa que a direção de maior aumento da temperatura é aproximadamente
.
Passo 8
A taxa de crescimento da temperatura nessa direção é exatamente a magnitude do gradiente que calculamos, que é aproximadamente
unidades de temperatura por unidade de distância.
Resposta
A direção de maior crescimento da temperatura a partir de
é na direção do vetor
e a taxa de crescimento nessa direção é aproximadamente
unidades de temperatura por unidade de distância.