Seja T(x, y)=300-2 x^2-3 y^2 a temperatura em (x, y).
b) (0,7) Estando-se em (4,9), qual a direção e sentido de maior crescimento da temperatura? Qual a taxa de crescimento nesta direção?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma função que descreve a temperatura em qualquer ponto (x, y) do espaço: T(x, y) = 300 - 2x^2 - 3y^2. A pergunta aqui é: estando em (4,9), qual é a direção e o sentido em que a temperatura aumenta mais rapidamente? E qual é a taxa de aumento nessa direção? Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente da função, que nos ajuda a encontrar a direção de maior crescimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função T(x, y) é um vetor que aponta na direção onde a função aumenta mais rápido. Além disso, a magnitude desse vetor nos dá a taxa de aumento nessa direção. Para encontrar o gradiente, a gente calcula as derivadas parciais da função em relação a x e a y.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de T(x, y):
partial Tpartial x = partialpartial x (300 - 2x^2 - 3y^2) = -4x
partial Tpartial y = partialpartial y (300 - 2x^2 - 3y^2) = -6y
Então, o gradiente nabla T é:
nabla T = ( -4x, -6y )

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto específico (4,9):
nabla T(4,9) = ( -4 times 4, -6 times 9 ) = (-16, -54)
Esse vetor (-16, -54) indica a direção de maior aumento da temperatura a partir do ponto (4,9).

Passo 5

Para encontrar a direção de maior aumento, vamos normalizar o vetor gradiente. Isso significa transformar o vetor em um vetor unitário (com comprimento 1) que aponta na mesma direção. A fórmula para normalizar um vetor (a, b) é:
Vetor unitário = ( a| nabla T |, b| nabla T | ) á
onde | nabla T | é a magnitude do gradiente, calculada por:
| nabla T | = raiza^2 + b^2

Passo 6

Vamos calcular a magnitude do gradiente nabla T(4,9) = (-16, -54):
| nabla T | = raiz(-16)^2 + (-54)^2 = raiz256 + 2916 = raiz3172 approx 56,34

Passo 7

Agora, vamos normalizar o gradiente para encontrar a direção:
Direção = ( -1656,34, -5456,34 ) approx (-0,28, -0,96) çã
Isso significa que a direção de maior aumento da temperatura é aproximadamente (-0,28, -0,96).

Passo 8

A taxa de crescimento da temperatura nessa direção é exatamente a magnitude do gradiente que calculamos, que é aproximadamente 56,34 unidades de temperatura por unidade de distância.

Resposta

A direção de maior crescimento da temperatura a partir de (4,9) é na direção do vetor (-0,28, -0,96) e a taxa de crescimento nessa direção é aproximadamente 56,34 unidades de temperatura por unidade de distância.

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