Seja z=z(x, y) uma função diferenciável definida implicitamente pela equação
e^2=x y z+y(sen x)+1
Sabendo que o ponto (x, y, z)=(0,1,0) verifica a equação (1) acima calcule partial zpartial x(0,1) e partial zpartial y(0,1).

Passo 1

Estamos lidando com uma função implícita da forma e^z = x,y,z + ysin x + 1. O conteúdo principal é differentição implícita (e uso do teorema da função implícita). Queremos encontrar partial z/partial x(0,1) e partial z/partial y(0,1).

Passo 2

Definimos F(x,y,z) = x,y,z + ysin x + 1 - e^z. Como F(x,y,z)=0 caracteriza a superfície em que z=z(x,y), pela diferenciacão implícita temos
Fx + Fz,zx = 0 e Fy + Fz,zy = 0

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de F:
Fx = partialpartial x(x y z) + partialpartial x(ysin x) - partialpartial x(e^z) = y z + ycos x,
Fy = x z + sin x,
Fz = x y - e^z

Passo 4

Pela regra de diferenciação implícita, temos
zx = -FxFz, zy = -FyFz

Passo 5

Agora avaliamos em (x,y,z)=(0,1,0):
Fx(0,1,0) = 1cdot0 + 1cdotcos0 = 1,
Fy(0,1,0) = 0cdot0 + sin0 = 0,
Fz(0,1,0) = 0cdot1 - e^0 = -1

Passo 6

Logo
partial zpartial x(0,1) = -1-1 = 1,
partial zpartial y(0,1) = -0-1 = 0

Resposta

partial z/partial x(0,1)=1 e partial z/partial y(0,1)=0

Exercícios relacionados