Determine se o seguinte limite existe e, caso que exista, determine o valor
lim (x, y) (2,0) x y-2 y(x-2)^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para a gente verificar se existe o limite de uma função de duas variáveis e, se existir, achar o valor
O conteúdo é limite de função de várias variáveis e vamos precisar analisar diferentes caminhos de aproximação para ver se o resultado é único

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão. Note que
temos o numerador
xy - 2y = y(x - 2)
enquanto o denominador já está em forma de soma de quadrados:
(x-2)^2 + y^2

Passo 3

Analisamos o caminho em que y = 0. Substituindo na expressão simplificada, o numerador fica
y(x - 2) = 0
e o denominador é (x-2)^2, então o quociente tende a 0 quando x to 2.

Passo 4

Para ver se o limite é bem definido, consideramos outro caminho: y = k(x-2), com k constante. Substituindo,
numerador = y(x-2) = k(x-2)^2
e denominador = (x-2)^2 + k^2(x-2)^2 = (1 + k^2)(x-2)^2
logo o quociente é
k(x-2)^2(1+k^2)(x-2)^2 = k1+k^2
que depende de k e não se iguala ao valor 0 obtido antes, a menos que k=0.

Passo 5

Como diferentes caminhos dão resultados diferentes (por exemplo, 0 para y=0 e 1/2 para k=1), o limite não é único e, portanto, não existe.

Resposta

O limite não existe.

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