Determine se o seguinte limite existe e, caso que exista, determine o valor
Passo 1
O enunciado pede para a gente verificar se existe o limite de uma função de duas variáveis e, se existir, achar o valor
O conteúdo é limite de função de várias variáveis e vamos precisar analisar diferentes caminhos de aproximação para ver se o resultado é único
O conteúdo é limite de função de várias variáveis e vamos precisar analisar diferentes caminhos de aproximação para ver se o resultado é único
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão. Note que
temos o numerador
enquanto o denominador já está em forma de soma de quadrados:
Passo 3
Analisamos o caminho em que
. Substituindo na expressão simplificada, o numerador fica
e o denominador é
, então o quociente tende a 0 quando
.
Passo 4
Para ver se o limite é bem definido, consideramos outro caminho:
, com
constante. Substituindo,
numerador =
e denominador =
logo o quociente é
que depende de
e não se iguala ao valor 0 obtido antes, a menos que
.
Passo 5
Como diferentes caminhos dão resultados diferentes (por exemplo, 0 para
e
para
), o limite não é único e, portanto, não existe.
Resposta
O limite não existe.