Admitindo que a água do mar tem sua densidade descrita pela seguinte equação de estado,
, onde
é o fator de compressibilidade, determine a pressão e a densidade num ponto a 30.000 ft abaixo da superfície do mar. Assuma que
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar a pressão e a densidade da água do mar a 30 000 ft de profundidade, usando a lei
onde
Isso é um problema de estática de fluidos compressível: a pressão varia com a profundidade e, como a densidade depende de
e integrar.
O que precisamos:
O que precisamos:
- Valor de referência
(densidade à superfície) e . - Gravidade
para converter densidade em peso específico. - Converter unidades direitinho para trabalhar em psi vs ft.
Passo 2
Primeiro, fixamos valores típicos em unidades inglesas:
-
psi -
lbm/ft³ (densidade de água do mar à superfície) -
ft/s²
Usamos o peso específico
Mas como queremos
A equação hydrostática vira
Passo 3
Para resolver, defino a variável adimensional
Então
Agora integramos de 0 até a profundidade
ft (e de
até o valor final):
Voltando pra
:
$$P=P_{\rm atm}+\beta,x
=P_{\rm atm}-\beta\ln!\Bigl(1-\frac{a,h}{\beta}\Bigr).$$
Passo 4
Basta substituir:
-
psi/ft -
ft -
psi -
psi
Calculemos dentro do logaritmo:
Passo 5
Agora a densidade nesse ponto é
Resposta
Pressão a 30 000 ft:
Densidade a 30 000 ft: