Admitindo que a água do mar tem sua densidade descrita pela seguinte equação de estado, rho=rho0 exp [(P-P atm ) / beta], onde beta é o fator de compressibilidade, determine a pressão e a densidade num ponto a 30.000 ft abaixo da superfície do mar. Assuma que beta=300.000 psi.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a pressão e a densidade da água do mar a 30 000 ft de profundidade, usando a lei
rho = rho0 exp!l[P - Prm atmbetar],
onde beta=300,000,psi.
Isso é um problema de estática de fluidos compressível: a pressão varia com a profundidade e, como a densidade depende de P, a gente vai montar uma equação diferencial hydrostática
dPdh=rho,g
e integrar.
O que precisamos:
  • Valor de referência rho0 (densidade à superfície) e Prm atm.
  • Gravidade g para converter densidade em peso específico.
  • Converter unidades direitinho para trabalhar em psi vs ft.

Passo 2

Primeiro, fixamos valores típicos em unidades inglesas:
  • Prm atm=14,7,psi
  • rho0=64,lbm/ft³ (densidade de água do mar à superfície)
  • g=32,2,ft/s²
Usamos o peso específico
gamma0=rho0,gapprox64cdot32,2approx2060,8;rm lbfrm ft^3
Mas como queremos P em psi, notamos que 1 psi = 1 lbf/in² = 144 lbf/ft². Então, em psi/ft:
a;=;gamma0144approx2060,8144approx14,31;rm psirm ft
A equação hydrostática vira
dPdh=a;exp!l[tfracP-Prm atmbetar]

Passo 3

Para resolver, defino a variável adimensional
x=P-Prm atmbeta
Então P-Prm atm=beta x e dP=beta,dx. A equação fica:
betadxdh=a,e^xLongrightarrow dxe^x=abeta,dh
Agora integramos de 0 até a profundidade h=30,000,ft (e de x=0 até o valor final):
integral0^xe^-udu=integral0^habeta,dh ;Longrightarrow; l[-e^-ur]0^x=abeta,h
1-e^-x=a,hbeta Longrightarrow e^-x=1-a,hbeta Longrightarrow x=-lnl(1-a,hbetar)
Voltando pra P:
$$P=P_{\rm atm}+\beta,x
=P_{\rm atm}-\beta\ln!\Bigl(1-\frac{a,h}{\beta}\Bigr).$$

Passo 4

Basta substituir:
  • aapprox14,31,psi/ft
  • h=30,000,ft
  • beta=300,000,psi
  • Prm atm=14,7,psi
Calculemos dentro do logaritmo:
a,hbeta=14,31times30,000300,000approx1,431;times30,000300,000approx0,1431
Papprox14,7-300,000ln(1-0,1431) =14,7-300,000ln(0,8569) approx14,7-300,000(-0,1547) approx14,7+46,410approx46,425;psi

Passo 5

Agora a densidade nesse ponto é
rho=rho0exp!l[P-Prm atmbetar] =rho0,e^,x =rho0;11-tfraca,hbeta =641-0,1431;lbm/ft^3 approx64times1,1668approx74,7;lbm/ft^3

Resposta

Pressão a 30 000 ft:
boxedPapprox4,64times10^4 psi
Densidade a 30 000 ft:
boxedrhoapprox74,7 lbm/ft^3

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