Seja \tau \in L(V, W), onde V e W são espaços de dimensão finita. Prove que
\operatorname{rk}(\tau)=\operatorname{rk}\left(\tau^{*}\right)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: \tau\in L(V,W), isto é, \tau é uma aplicação linear de um espaço vetorial de dimensão finita V para outro de dimensão finita W.
  • Informação implícita: \tau^{*} denota a aplicação dual (também chamada de transposta no contexto de matrizes) \tau^{*}\colon W^{*}\to V^{*} definida por \tau^{*}(\varphi)=\varphi\circ\tau para \varphi\in W^{*}.
  • Pedido: provar que
\operatorname{rk}(\tau)=\operatorname{rk}\bigl(\tau^{*}\bigr),
onde \operatorname{rk} significa dimensão da imagem (posto).

Passo 2

Definições e ideias básicas que vamos usar (explicadas devagar).
  • Dual: V^{*} é o espaço das formas lineares V\to\mathbb{F} (onde \mathbb{F} é o corpo). Se \mathcal{B}=(v_{1},\dots,v_{n}) é uma base de V, a base dual \mathcal{B}^{*}=(v_{1}^{*},\dots,v_{n}^{*}) de V^{*} é dada por v_{i}^{*}(v_{j})=\delta_{ij} (Kronecker).
  • Matriz de \tau: escolhendo bases \mathcal{B} de V e \mathcal{C} de W, existe uma matriz A\in M_{m\times n}(\mathbb{F}) tal que, para todo v\in V,
[\tau(v)]_{\mathcal{C}} = A\,[v]_{\mathcal{B}}.
Aqui n=\dim V e m=\dim W.
  • Rank: \operatorname{rk}(\tau)=\dim\bigl(\operatorname{Im}\tau\bigr). Para uma matriz A, \operatorname{rk}(A) é a dimensão do espaço gerado pelas colunas de A.
  • Observação que usaremos: a matriz que representa \tau^{*} nas bases duais \mathcal{C}^{*} (em W^{*}) e \mathcal{B}^{*} (em V^{*}) é a transposta de A, isto é A^{\mathsf{T}}. Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Mostrando que a matriz de \tau^{*} é A^{\mathsf{T}}.
  • Seja \mathcal{B}=(v_{1},\dots,v_{n}) base de V e \mathcal{C}=(w_{1},\dots,w_{m}) base de W. Seja A=(a_{ij})\in M_{m\times n}(\mathbb{F}) a matriz de \tau relativa a \mathcal{B},\mathcal{C}. Por definição de matriz,
\tau(v_{j})=\sum_{i=1}^{m} a_{ij}\,w_{i}\qquad\text{para }j=1,\dots,n.
  • Considere a base dual \mathcal{C}^{*}=(w_{1}^{*},\dots,w_{m}^{*}) de W^{*} e \mathcal{B}^{*}=(v_{1}^{*},\dots,v_{n}^{*}) de V^{*}. Calculemos \tau^{*}(w_{i}^{*}) aplicado a um vetor base v_{j}:
\bigl(\tau^{*}(w_{i}^{*})\bigr)(v_{j}) = w_{i}^{*}\bigl(\tau(v_{j})\bigr) = w_{i}^{*}\!\left(\sum_{k=1}^{m} a_{kj}\,w_{k}\right) = a_{ij},
pois w_{i}^{*}(w_{k})=\delta_{ik}.
  • Como v_{1}^{*},\dots,v_{n}^{*} é a base dual de V^{*}, a expressão anterior mostra que
\tau^{*}(w_{i}^{*})=\sum_{j=1}^{n} a_{ij}\,v_{j}^{*}.
  • Portanto, a i-ésima coluna da matriz de \tau^{*} (vista como mapa de uma base de W^{*} para coordenadas em V^{*}) é (a_{i1},a_{i2},\dots,a_{in})^{\mathsf{T}}. Isso significa exatamente que a matriz de \tau^{*} relativa a \mathcal{C}^{*},\mathcal{B}^{*} é A^{\mathsf{T}}.

Passo 4

Conclusão usando propriedades de matrizes (por que o posto não muda ao transpor).
  • Temos \operatorname{rk}(\tau)=\operatorname{rk}(A) e \operatorname{rk}\bigl(\tau^{*}\bigr)=\operatorname{rk}\bigl(A^{\mathsf{T}}\bigr).
  • Teorema básico de álgebra linear: para qualquer matriz A, \operatorname{rk}(A)=\operatorname{rk}\bigl(A^{\mathsf{T}}\bigr). Uma maneira simples de ver isso é através da eliminação de Gauss: ao reduzir A por operações elementares de linha obtem-se uma forma escalonada com certo número de pivôs; esse número de pivôs é igual ao número de colunas pivôs e também igual ao número de linhas não nulas na forma escalonada, portanto coincide com a dimensão do espaço das colunas e com a dimensão do espaço das linhas. Como as colunas de A^{\mathsf{T}} são as linhas de A, segue que as dimensões de seus espaços coluna são iguais. Em linguagem direta: posto por colunas = posto por linhas, logo \operatorname{rk}(A)=\operatorname{rk}(A^{\mathsf{T}}).
  • Assim \operatorname{rk}(\tau)=\operatorname{rk}(A)=\operatorname{rk}(A^{\mathsf{T}})=\operatorname{rk}\bigl(\tau^{*}\bigr).

Passo 5

(Complemento — prova invariântica sem escolher bases, para intuição extra)
  • Existe também uma prova menos dependente de bases usando anuladores (annihilators). Para S\subset W definimos o anulador
S^{0}=\{\varphi\in W^{*}\mid \varphi(s)=0\\ \text{para todo }s\in S\}.
  • Pode-se verificar que \ker(\tau^{*})=(\operatorname{Im}\tau)^{0}. Logo
\dim\ker(\tau^{*})=\dim(\operatorname{Im}\tau)^{0}=\dim W-\dim(\operatorname{Im}\tau).
  • Pela fórmula da dimensão para \tau^{*},
\dim(\operatorname{Im}\tau^{*})=\dim W^{*}-\dim\ker(\tau^{*})=\dim W-(\dim W-\dim(\operatorname{Im}\tau))=\dim(\operatorname{Im}\tau).
  • Portanto \operatorname{rk}(\tau^{*})=\dim(\operatorname{Im}\tau^{*})=\dim(\operatorname{Im}\tau)=\operatorname{rk}(\tau). Esta abordagem evita matrizes e usa apenas relações dimensionais e propriedades do anulador.

Resposta

\operatorname{rk}(\tau)=\operatorname{rk}\bigl(\tau^{*}\bigr)

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