Seja
, onde
e
são espaços de dimensão finita. Prove que
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Dado:
, isto é, é uma aplicação linear de um espaço vetorial de dimensão finita para outro de dimensão finita . - Informação implícita:
denota a aplicação dual (também chamada de transposta no contexto de matrizes) definida por para . - Pedido: provar que
onde
significa dimensão da imagem (posto).
Passo 2
Definições e ideias básicas que vamos usar (explicadas devagar).
- Dual:
é o espaço das formas lineares (onde é o corpo). Se é uma base de , a base dual de é dada por (Kronecker). - Matriz de
: escolhendo bases de e de , existe uma matriz tal que, para todo ,
Aqui
e
.
- Rank:
. Para uma matriz , é a dimensão do espaço gerado pelas colunas de . - Observação que usaremos: a matriz que representa
nas bases duais (em ) e (em ) é a transposta de , isto é . Vou mostrar isso passo a passo.
Passo 3
Mostrando que a matriz de
é
.
- Seja
base de e base de . Seja a matriz de relativa a . Por definição de matriz,
- Considere a base dual
de e de . Calculemos aplicado a um vetor base :
pois
.
- Como
é a base dual de , a expressão anterior mostra que
- Portanto, a
-ésima coluna da matriz de (vista como mapa de uma base de para coordenadas em ) é . Isso significa exatamente que a matriz de relativa a é .
Passo 4
Conclusão usando propriedades de matrizes (por que o posto não muda ao transpor).
- Temos
e . - Teorema básico de álgebra linear: para qualquer matriz
, . Uma maneira simples de ver isso é através da eliminação de Gauss: ao reduzir por operações elementares de linha obtem-se uma forma escalonada com certo número de pivôs; esse número de pivôs é igual ao número de colunas pivôs e também igual ao número de linhas não nulas na forma escalonada, portanto coincide com a dimensão do espaço das colunas e com a dimensão do espaço das linhas. Como as colunas de são as linhas de , segue que as dimensões de seus espaços coluna são iguais. Em linguagem direta: posto por colunas = posto por linhas, logo . - Assim
.
Passo 5
(Complemento — prova invariântica sem escolher bases, para intuição extra)
- Existe também uma prova menos dependente de bases usando anuladores (annihilators). Para
definimos o anulador
- Pode-se verificar que
. Logo
- Pela fórmula da dimensão para
,
- Portanto
. Esta abordagem evita matrizes e usa apenas relações dimensionais e propriedades do anulador.