Seja V um espaço vetorial tal que
V=S_{1} \oplus T_{1}=S_{2} \oplus T_{2}
Suponha que S_{1} e S_{2} tenham codimensão finita. Encontre uma decomposição em soma direta
V=W \oplus X
tal que W tenha codimensão finita, W \subseteq S_{1} \cap S_{2} e X \supseteq T_{1}+T_{2}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados:
    • V é um espaço vetorial e V = S_{1}\oplus T_{1} = S_{2}\oplus T_{2}.
    • S_{1} e S_{2} têm codimensão finita (isto é, \dim(V/S_{1}) e \dim(V/S_{2}) são finitas).
  • Pedido:
    • Encontrar uma decomposição em soma direta V = W \oplus Xtal que
      • W tem codimensão finita;
      • W \subseteq S_{1}\cap S_{2};
      • X \supseteq T_{1}+T_{2}.
Observações que vamos usar (apenas listadas; a execução começa no Passo 2):
  • Decomposições diretas dadas mostram relação entre os complementos e as codimensões.
  • Vamos construir W dentro de S_{1}\cap S_{2} cortando apenas uma parte finita (para garantir codimensão finita) e construir X contendo T_{1}+T_{2} de modo que a soma seja direta.

Passo 2

Primeiro fato útil: T_{1} e T_{2} são finito-dimensionais.
Explicação didática: se V = S_{1}\oplus T_{1} então o mapa natural T_{1}\to V/S_{1} é um isomorfismo (cada classe em V/S_{1} tem representante único em T_{1}). Logo
\dim T_{1} = \dim(V/S_{1})=\text{codim}(S_{1}),
que é finita por hipótese. O mesmo vale para T_{2}. Consequência direta: o subespaço
T := T_{1}+T_{2}
é também finito-dimensional (soma de subespaços finito-dimensionais).

Passo 3

Definir U:=S_{1}\cap S_{2} e ver que U tem codimensão finita.
Explicação didática: codimensão satisfaz a desigualdade
\text{codim}(U)\le \text{codim}(S_{1})+\text{codim}(S_{2}),
pois U é interseção de dois subespaços de codimensão finita; portanto \text{codim}(U) é finita. Assim U é um subespaço de codimensão finita em V.
Como U tem codimensão finita, existe um complemento finito-dimensional F em V tal que
V = U \oplus F.
(Mais “sair do teorema”: qualquer subespaço de codimensão finita admite um complemento de dimensão finita.)

Passo 4

Estudar a interseção U\cap T e escolher complementos dentro de U e dentro de T.
Explicação didática: T é finito-dimensional, logo U\cap T é finito-dimensional. Em espaços finito-dimensionais sempre se pode escolher complementos. Portanto existem subespaços M\subseteq U e Q\subseteq T tais que
U = M \oplus (U\cap T) \qquad\text{e}\qquad T = (U\cap T)\oplus Q.
Aqui:
  • M é um complemento de U\cap T dentro de U;
  • Q é um complemento de U\cap T dentro de T.
Comentário intuitivo: estamos “separando” em U a parte que já está em T (isto é, U\cap T) e deixando M como o resto de U. Em T separamos também a parte que já está em U (mesma U\cap T) e temos Q para a parte de T que não está em U.

Passo 5

Definir W e X explicitamente e checar as propriedades.
Definição:
W := M \qquad\text{e}\qquad X := (U\cap T)\oplus Q \oplus F.
Observações imediatas:
  • Como M\subseteq U e U = S_{1}\cap S_{2}, temos W\subseteq S_{1}\cap S_{2}.
  • Como T=(U\cap T)\oplus Q, e X contém (U\cap T)\oplus Q, segue que X\supseteq T. Em particular X\supseteq T_{1}+T_{2}.
  • F foi escolhido finito-dimensional, U\cap T e Q são finito-dimensionais, logo X é finito-dimensional. Assim \dim X<\infty e, por consequência, \text{codim}(W)=\dim X é finita (pois V=W\oplus X — ainda vamos provar que isto é uma soma direta total).
Agora provar, passo a passo, que V = W \oplus X.
  1. Soma gera todo V:
Usando as decomposições anteriores,
V = U \oplus F = \big(M \oplus (U\cap T)\big) \oplus F.
Logo
V = M + (U\cap T) + F \subseteq M + \big((U\cap T)\oplus Q \oplus F\big) = W + X.
Assim W+X=V.
  1. Interseção trivial W\cap X=\{0\}:
Se v\in W\cap X, então v\in M e também v\in (U\cap T)\oplus Q \oplus F. Escreve-se
v = m \quad(m\in M)
e
v = u + q + f \quad(u\in U\cap T,\; q\in Q,\; f\in F).
Como m=u+q+f e m,u\in U, deduz-se q+f\in U. Mas f\in F e F\cap U=\{0\} (pois V=U\oplus F), logo f=0. Assim m=u+q com m,u\in U implica q\in U\cap Q. Mas Q\cap U=\{0\} por definição de Q (é complemento de U\cap T em T), então q=0. Assim m=u\in M\cap(U\cap T). Mas M\cap(U\cap T)=\{0\} (pois U=M\oplus(U\cap T)). Portanto m=0. Concluímos v=0. Logo W\cap X=\{0\}.
Juntando as duas partes: W+X=V e W\cap X=\{0\}. Portanto
V = W \oplus X.

Passo 6

Resumo e checagem final das propriedades pedidas.
  • W=M\subseteq U=S_{1}\cap S_{2} (portanto W\subseteq S_{1}\cap S_{2}).
  • X\supseteq T=(T_{1}+T_{2}).
  • V=W\oplus X.
  • X é finito-dimensional (soma de subespaços finito-dimensionais), então \text{codim}(W)=\dim X é finita; assim W tem codimensão finita.
Portanto a construção satisfaz todas as exigências.

Resposta

Escolher U:=S_{1}\cap S_{2} e T:=T_{1}+T_{2}. Seja F um complemento finito-dimensional de U em V (ou seja V=U\oplus F). Escreva U=(M)\oplus(U\cap T) e T=(U\cap T)\oplus Q (complementos finito-dimensionais). Então
W:=M\subseteq S_{1}\cap S_{2}, \qquad X:=(U\cap T)\oplus Q\oplus F
satisfazem V=W\oplus X, W tem codimensão finita e X\supseteq T_{1}+T_{2}.

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