Seja
um espaço vetorial tal que
Suponha que
e
tenham codimensão finita. Encontre uma decomposição em soma direta
tal que
tenha codimensão finita,
e
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados:
-
é um espaço vetorial e -
e têm codimensão finita (isto é, e são finitas).
-
-
Pedido:
- Encontrar uma decomposição em soma direta
tal que -
tem codimensão finita; -
; -
.
-
- Encontrar uma decomposição em soma direta
Observações que vamos usar (apenas listadas; a execução começa no Passo 2):
- Decomposições diretas dadas mostram relação entre os complementos e as codimensões.
- Vamos construir
dentro de cortando apenas uma parte finita (para garantir codimensão finita) e construir contendo de modo que a soma seja direta.
Passo 2
Primeiro fato útil:
e
são finito-dimensionais.
Explicação didática: se
então o mapa natural
é um isomorfismo (cada classe em
tem representante único em
). Logo
que é finita por hipótese. O mesmo vale para
. Consequência direta: o subespaço
é também finito-dimensional (soma de subespaços finito-dimensionais).
Passo 3
Definir
e ver que
tem codimensão finita.
Explicação didática: codimensão satisfaz a desigualdade
pois
é interseção de dois subespaços de codimensão finita; portanto
é finita. Assim
é um subespaço de codimensão finita em
.
Como
tem codimensão finita, existe um complemento finito-dimensional
em
tal que
(Mais “sair do teorema”: qualquer subespaço de codimensão finita admite um complemento de dimensão finita.)
Passo 4
Estudar a interseção
e escolher complementos dentro de
e dentro de
.
Explicação didática:
é finito-dimensional, logo
é finito-dimensional. Em espaços finito-dimensionais sempre se pode escolher complementos. Portanto existem subespaços
e
tais que
Aqui:
-
é um complemento de dentro de ; -
é um complemento de dentro de .
Comentário intuitivo: estamos “separando” em
a parte que já está em
(isto é,
) e deixando
como o resto de
. Em
separamos também a parte que já está em
(mesma
) e temos
para a parte de
que não está em
.
Passo 5
Definir
e
explicitamente e checar as propriedades.
Definição:
Observações imediatas:
- Como
e , temos . - Como
, e contém , segue que . Em particular . -
foi escolhido finito-dimensional, e são finito-dimensionais, logo é finito-dimensional. Assim e, por consequência, é finita (pois — ainda vamos provar que isto é uma soma direta total).
Agora provar, passo a passo, que
.
- Soma gera todo
:
Usando as decomposições anteriores,
Logo
Assim
.
- Interseção trivial
:
Se
, então
e também
. Escreve-se
e
Como
e
, deduz-se
. Mas
e
(pois
), logo
. Assim
com
implica
. Mas
por definição de
(é complemento de
em
), então
. Assim
. Mas
(pois
). Portanto
. Concluímos
. Logo
.
Juntando as duas partes:
e
. Portanto
Passo 6
Resumo e checagem final das propriedades pedidas.
-
(portanto ). -
. -
. -
é finito-dimensional (soma de subespaços finito-dimensionais), então é finita; assim tem codimensão finita.
Portanto a construção satisfaz todas as exigências.
Resposta
Escolher
e
. Seja
um complemento finito-dimensional de
em
(ou seja
). Escreva
e
(complementos finito-dimensionais). Então
satisfazem
,
tem codimensão finita e
.