Seja
um espaço vetorial tal que
Prove que, se
e
têm codimensão finita em
, então
também tem codimensão finita e
Passo 1
O enunciado dá que
é um espaço vetorial com decomposições diretas
e afirma que
e
têm codimensão finita em
. O que precisamos provar é duas coisas:
- Que
também tem codimensão finita em . - Que vale a desigualdade
Informações relevantes dadas:
- As somas são diretas: cada
se escreve unicamente como soma de um vetor de e de um vetor de . -
é finita para .
A resolução começa a partir destas propriedades e utiliza espaços quociente, um mapa linear natural e o teorema do primeiro isomorfismo (ou argumentos elementares de dimensão).
Passo 2
Lembrando e explicando conceitos que vamos usar (com calma):
- Definição de codimensão: para um subespaço
, a codimensão de em é
isto é, a dimensão do espaço quociente
. Se
é finita, então
é um espaço vetorial de dimensão finita.
- Relação com soma direta: se
(soma direta), então cada escreve-se unicamente como com , . Há uma isomorfia natural entre e dada por
Vou mostrar por que isto é bijetivo e linear: linearidade é clara; se
então
, e pela unicidade da decomposição
. Assim é injetivo; para surjetividade, qualquer classe
tem
com
, e
. Logo
. Consequência prática:
Isto explica por que os
são exatamente
.
Passo 3
Construir o mapa natural que será a chave. Defina o mapa linear
por
Explico:
é a classe de
no quociente
; o produto direto de espaços quociente é um espaço vetorial, e
é linear porque ambas coordenadas são mapas lineares.
Agora identifique o núcleo de
. Temos
Isto equivale a
e
, logo
Portanto o núcleo do mapa natural é exatamente a interseção dos subespaços que queremos estudar.
Passo 4
Agora aplicamos um argumento de dimensões. Como
e
têm codimensão finita, os espaços
e
são de dimensão finita; assim o espaço produto
também é de dimensão finita, com
Pelo Teorema do Núcleo e Imagem (ou primeiro teorema do isomorfismo em termos de dimensão), para o mapa linear
vale
Passando para o quociente por
obtemos a isomorfia
Daí segue a desigualdade de dimensões (porque a dimensão de um subespaço é menor ou igual à dimensão do espaço):
Mas a esquerda é exatamente
, e as parcelas à direita são
e
. Usando o resultado do Passo 2 (que relaciona cada codimensão com
) obtemos
Além disso, a desigualdade mostra que
é finita, logo
tem codimensão finita em
. Isso conclui a prova.
Passo 5
Comentário didático curto e exemplo mental: a ideia central foi construir o mapa que envia um vetor às suas classes modulo
e modulo
. O núcleo desse mapa é exatamente a interseção
. Como a imagem vive num espaço cujo dimensão é a soma das codimensões de
e
, a dimensão do quociente por
não pode ultrapassar essa soma. Um exemplo concreto para intuir: em
, se
e
forem planos (codimensão
cada), a interseção é uma reta (codimensão
), e realmente
.