Seja V um espaço vetorial tal que
V=S_{1} \oplus T_{1}=S_{2} \oplus T_{2}
Prove que, se S_{1} e S_{2} têm codimensão finita em V, então S_{1} \cap S_{2} também tem codimensão finita e
\operatorname{codim}\left(S_{1} \cap S_{2}\right) \leq \operatorname{dim}\left(T_{1}\right)+\operatorname{dim}\left(T_{2}\right) .

Passo 1

O enunciado dá que V é um espaço vetorial com decomposições diretas
V = S_{1}\oplus T_{1} = S_{2}\oplus T_{2},
e afirma que S_{1} e S_{2} têm codimensão finita em V. O que precisamos provar é duas coisas:
  • Que S_{1}\cap S_{2} também tem codimensão finita em V.
  • Que vale a desigualdade
\operatorname{codim}\!\left(S_{1}\cap S_{2}\right) \le \dim\!\left(T_{1}\right) + \dim\!\left(T_{2}\right).
Informações relevantes dadas:
  • As somas são diretas: cada V se escreve unicamente como soma de um vetor de S_i e de um vetor de T_i.
  • \operatorname{codim}(S_i)=\dim(V/S_i) é finita para i=1,2.
A resolução começa a partir destas propriedades e utiliza espaços quociente, um mapa linear natural e o teorema do primeiro isomorfismo (ou argumentos elementares de dimensão).

Passo 2

Lembrando e explicando conceitos que vamos usar (com calma):
  • Definição de codimensão: para um subespaço S\subseteq V, a codimensão de S em V é
\operatorname{codim}(S):=\dim\!\bigl(V/S\bigr),
isto é, a dimensão do espaço quociente V/S. Se \operatorname{codim}(S) é finita, então V/S é um espaço vetorial de dimensão finita.
  • Relação com soma direta: se V=S\oplus T (soma direta), então cada v\in V escreve-se unicamente como v=s+t com s\in S, t\in T. Há uma isomorfia natural entre T e V/S dada por
T \ni t \longmapsto t+S \in V/S.
Vou mostrar por que isto é bijetivo e linear: linearidade é clara; se t+S=0+S então t\in S, e pela unicidade da decomposição t=0. Assim é injetivo; para surjetividade, qualquer classe v+S tem v=s+t com t\in T, e v+S=t+S. Logo V/S\cong T. Consequência prática:
\dim\!\bigl(V/S_i\bigr)=\dim(T_i),\qquad i=1,2.
Isto explica por que os \operatorname{codim}(S_i) são exatamente \dim(T_i).

Passo 3

Construir o mapa natural que será a chave. Defina o mapa linear
\varphi: V \longrightarrow \bigl(V/S_{1}\bigr)\times\bigl(V/S_{2}\bigr)
por
\varphi(v)=\bigl(v+S_{1},\,v+S_{2}\bigr).
Explico: v+S_i é a classe de v no quociente V/S_i; o produto direto de espaços quociente é um espaço vetorial, e \varphi é linear porque ambas coordenadas são mapas lineares.
Agora identifique o núcleo de \varphi. Temos
\ker\varphi=\{v\in V \mid v+S_{1}=0+S_{1}\text{ e }v+S_{2}=0+S_{2}\}.
Isto equivale a v\in S_{1} e v\in S_{2}, logo
\ker\varphi = S_{1}\cap S_{2}.
Portanto o núcleo do mapa natural é exatamente a interseção dos subespaços que queremos estudar.

Passo 4

Agora aplicamos um argumento de dimensões. Como S_{1} e S_{2} têm codimensão finita, os espaços V/S_{1} e V/S_{2} são de dimensão finita; assim o espaço produto (V/S_{1})\times(V/S_{2}) também é de dimensão finita, com
\dim\!\bigl((V/S_{1})\times(V/S_{2})\bigr)=\dim\!\bigl(V/S_{1}\bigr)+\dim\!\bigl(V/S_{2}\bigr).
Pelo Teorema do Núcleo e Imagem (ou primeiro teorema do isomorfismo em termos de dimensão), para o mapa linear \varphi vale
\dim(V) = \dim\bigl(\ker\varphi\bigr) + \dim\bigl(\operatorname{im}\varphi\bigr).
Passando para o quociente por \ker\varphi=S_{1}\cap S_{2} obtemos a isomorfia
V/(S_{1}\cap S_{2}) \cong \operatorname{im}\varphi \subseteq (V/S_{1})\times(V/S_{2}).
Daí segue a desigualdade de dimensões (porque a dimensão de um subespaço é menor ou igual à dimensão do espaço):
\dim\!\bigl(V/(S_{1}\cap S_{2})\bigr) = \dim\!\bigl(\operatorname{im}\varphi\bigr)\le \dim\!\bigl(V/S_{1}\bigr)+\dim\!\bigl(V/S_{2}\bigr).
Mas a esquerda é exatamente \operatorname{codim}(S_{1}\cap S_{2}), e as parcelas à direita são \operatorname{codim}(S_1) e \operatorname{codim}(S_2). Usando o resultado do Passo 2 (que relaciona cada codimensão com \dim T_i) obtemos
\operatorname{codim}\!\left(S_{1}\cap S_{2}\right)\le \dim\!\left(T_{1}\right)+\dim\!\left(T_{2}\right).
Além disso, a desigualdade mostra que \dim\!\bigl(V/(S_{1}\cap S_{2})\bigr) é finita, logo S_{1}\cap S_{2} tem codimensão finita em V. Isso conclui a prova.

Passo 5

Comentário didático curto e exemplo mental: a ideia central foi construir o mapa que envia um vetor às suas classes modulo S_1 e modulo S_2. O núcleo desse mapa é exatamente a interseção S_1\cap S_2. Como a imagem vive num espaço cujo dimensão é a soma das codimensões de S_1 e S_2, a dimensão do quociente por S_1\cap S_2 não pode ultrapassar essa soma. Um exemplo concreto para intuir: em \mathbb{R}^3, se S_1 e S_2 forem planos (codimensão 1 cada), a interseção é uma reta (codimensão 2), e realmente 2 \le 1+1.

Resposta

\operatorname{codim}\!\left(S_{1}\cap S_{2}\right)\le \dim\!\left(T_{1}\right)+\dim\!\left(T_{2}\right).

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