Seja V=M_{2 \times 2}. Encontre o vetor coordenadas de A=\left[\begin{array}{cc}3 & -5 \\\\ 6 & 7\end{array}\right] em relação à base S=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right]\right\}.

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar o vetor de coordenadas de A=\left[\begin{array}{cc}3 & -5 \\[4pt] 6 & 7\end{array}\right] em relação à base
S=\left\{\;B_1=\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{array}\right],\;B_2=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{array}\right],\;B_3=\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{array}\right],\;B_4=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{array}\right]\;\right\}.
Informações relevantes dadas:
  1. A matriz alvo é A=\left[\begin{array}{cc}3 & -5 \\[4pt] 6 & 7\end{array}\right].
  2. A base S é formada pelos quatro matrices B_1,B_2,B_3,B_4 mostradas acima.
  3. Precisamos achar escalares (coordenadas) \;x_1,x_2,x_3,x_4\; tais que a combinação linear dessas bases gere A.]

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado devagar): dizer que o vetor coordenadas de A em relação a S significa encontrar números \;x_1,x_2,x_3,x_4\; tais que
x_1 B_1 + x_2 B_2 + x_3 B_3 + x_4 B_4 = A.
Isto é uma igualdade entre matrizes. Igualdade de matrizes vale entrada por entrada: as quatro igualdades (uma para cada posição (1,1),(1,2),(2,1),(2,2)) devem ser satisfeitas simultaneamente. Então podemos traduzir a equação matricial para um sistema linear em \;x_1,x_2,x_3,x_4\;.

Passo 3

Escrevendo a combinação linear explicitamente:
x_1\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{array}\right] + x_2\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{array}\right] + x_3\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{array}\right] + x_4\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 & -5 \\[4pt] 6 & 7\end{array}\right].
Somando entrada a entrada, obtemos o sistema de equações:
\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 3 & \text{(entrada \((1,1)\))},\\[4pt] x_1 - x_2 + x_3 = -5 & \text{(entrada \((1,2)\))},\\[4pt] x_1 + x_2 = 6 & \text{(entrada \((2,1)\))},\\[4pt] x_1 = 7 & \text{(entrada \((2,2)\))}. \end{cases}
Cada linha acima corresponde a igualar a soma das contribuições das bases na posição indicada com a entrada correspondente de A.]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo (sem pular etapas):
  1. Da última equação temos diretamente
x_1 = 7.
  1. Usando x_1 na terceira equação \;x_1 + x_2 = 6\; obtemos
7 + x_2 = 6 \quad\Rightarrow\quad x_2 = 6 - 7 = -1.
  1. Agora usamos x_1 e x_2 na segunda equação \;x_1 - x_2 + x_3 = -5\;:
7 - (-1) + x_3 = -5 \quad\Rightarrow\quad 7 + 1 + x_3 = -5 \quad\Rightarrow\quad 8 + x_3 = -5,
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x_3 = -5 - 8 = -13.
  1. Por fim, usamos x_1,x_2,x_3 na primeira equação \;x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 3\;:
7 + (-1) + (-13) + x_4 = 3 \quad\Rightarrow\quad -7 + x_4 = 3 \quad\Rightarrow\quad x_4 = 3 + 7 = 10.
Assim encontramos os quatro coeficientes: x_1=7,\;x_2=-1,\;x_3=-13,\;x_4=10.

Passo 5

Verificação rápida (faz bem na prova): recompondo a combinação com esses valores deve dar A. Rápido cálculo entrada a entrada:
\begin{array}{l} (1,1):\;7+(-1)+(-13)+10=3,\\[4pt] (1,2):\;7-(-1)+(-13)=7+1-13=-5,\\[4pt] (2,1):\;7+(-1)=6,\\[4pt] (2,2):\;7. \end{array}
Todas batem com as entradas de A, então os coeficientes estão corretos. Dica de prova: sempre comece pelas equações mais simples (aqui a posição (2,2) deu x_1 direto) e substitua progressivamente — isso economiza tempo e evita erros.]

Resposta

\displaystyle \begin{pmatrix}7\\[4pt]-1\\[4pt]-13\\[4pt]10\end{pmatrix}]

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