Seja
uma base do espaço vetorial
(polinômios de grau menor ou igual a3). Encontre o vetor coordenadas de
em relação à base S .
Passo 1
O enunciado fornece a base
do espaço vetorial
e o vetor (polinômio)
.
O que se pede: encontrar o vetor de coordenadas de em relação à base
; isto é, os escalares
tais que a combinação linear dos vetores da base com esses coeficientes reproduz
.
O que se pede: encontrar o vetor de coordenadas de
Passo 2
Conceito usado (explicação didática): dizer que um vetor
tem coordenadas
em relação à base
significa que
Aqui cada
é um número (escalar). A ideia prática para polinômios é expandir o lado direito, agrupar os termos em
e termo constante, e igualar os coeficientes com os do polinômio
. Isso gera um sistema linear para
.
Passo 3
Escrevemos a igualdade acima com incógnitas
e expandimos:
Passo 4
Agora igualamos coeficientes com
Explicação curta: cada linha corresponde aos coeficientes de (t{3},t{2},t] e termo constante, respectivamente.]
Passo 5
Resolvendo o sistema passo a passo:
- Da primeira equação
. Anotamos isso. - Substituindo em
temos , logo
- Em
substituímos : , então
- Finalmente, em
substituímos : , daí
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança): recompondo a combinação com
,
que dá
exatamente
. A verificação confirma que não cometemos erro.
Passo 7
Dica para a prova (resumida e prática): ao ver uma base de polinômios e um polinômio
, coloque incógnitas para os coeficientes, expanda, agrupe por potências de
e iguale coeficientes. Geralmente o sistema terá solução direta por substituição como aqui — comece sempre pela equação que contém apenas uma incógnita (quando existir).