Seja S=\left\{t^{3}+t^{2}, t^{2}+t, t+1,1\right\} uma base do espaço vetorial P_{3} (polinômios de grau menor ou igual a3). Encontre o vetor coordenadas de v=2 t^{3}+t^{2}-4 t+2 em relação à base S .

Passo 1

O enunciado fornece a base S=\{t^{3}+t^{2},\;t^{2}+t,\;t+1,\;1\} do espaço vetorial P_{3} e o vetor (polinômio) v=2t^{3}+t^{2}-4t+2.
O que se pede: encontrar o vetor de coordenadas de v em relação à base S; isto é, os escalares \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4} tais que a combinação linear dos vetores da base com esses coeficientes reproduz v.

Passo 2

Conceito usado (explicação didática): dizer que um vetor v tem coordenadas (\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}) em relação à base S significa que
v=\alpha_{1}\,(t^{3}+t^{2})+\alpha_{2}\,(t^{2}+t)+\alpha_{3}\,(t+1)+\alpha_{4}\cdot 1.
Aqui cada \alpha_{i} é um número (escalar). A ideia prática para polinômios é expandir o lado direito, agrupar os termos em t^{3},t^{2},t e termo constante, e igualar os coeficientes com os do polinômio v. Isso gera um sistema linear para \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}.

Passo 3

Escrevemos a igualdade acima com incógnitas \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4} e expandimos:
\alpha_{1}(t^{3}+t^{2})+\alpha_{2}(t^{2}+t)+\alpha_{3}(t+1)+\alpha_{4} = \alpha_{1}t^{3}+(\alpha_{1}+\alpha_{2})t^{2}+(\alpha_{2}+\alpha_{3})t+(\alpha_{3}+\alpha_{4}).

Passo 4

Agora igualamos coeficientes com v=2t^{3}+t^{2}-4t+2\). Comparando termo a termo obtemos o sistema: \[\begin{cases} \alpha_{1}=2,\\[4pt] \alpha_{1}+\alpha_{2}=1,\\[4pt] \alpha_{2}+\alpha_{3}=-4,\\[4pt] \alpha_{3}+\alpha_{4}=2. \end{cases}
Explicação curta: cada linha corresponde aos coeficientes de (t{3},t{2},t] e termo constante, respectivamente.]

Passo 5

Resolvendo o sistema passo a passo:
  • Da primeira equação \alpha_{1}=2. Anotamos isso.
  • Substituindo em \alpha_{1}+\alpha_{2}=1 temos 2+\alpha_{2}=1, logo
\alpha_{2}=1-2=-1.
  • Em \alpha_{2}+\alpha_{3}=-4 substituímos \alpha_{2}=-1: -1+\alpha_{3}=-4, então
\alpha_{3}=-4+1=-3.
  • Finalmente, em \alpha_{3}+\alpha_{4}=2 substituímos \alpha_{3}=-3: -3+\alpha_{4}=2, daí
\alpha_{4}=2+3=5.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): recompondo a combinação com \alpha_{1}=2,\alpha_{2}=-1,\alpha_{3}=-3,\alpha_{4}=5,
2(t^{3}+t^{2})-1(t^{2}+t)-3(t+1)+5 =2t^{3}+(2-1)t^{2}+(-1-3)t+(-3+5),
que dá
2t^{3}+1t^{2}-4t+2,
exatamente v. A verificação confirma que não cometemos erro.

Passo 7

Dica para a prova (resumida e prática): ao ver uma base de polinômios e um polinômio v, coloque incógnitas para os coeficientes, expanda, agrupe por potências de t e iguale coeficientes. Geralmente o sistema terá solução direta por substituição como aqui — comece sempre pela equação que contém apenas uma incógnita (quando existir).

Resposta

(2,\,-1,\,-3,\,5)

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