Os vetores u_{1}=(1,2,0), u_{2}=(1,3,2) e u_{3}=(0,1,3) formam uma base S de \mathbb{R}^{3}. Encontre o vetor de coordenadas de v=(2,7,-4) em relação a base S .
Passo 1
O enunciado dá três vetores u_{1}=(1,2,0), u_{2}=(1,3,2) e u_{3}=(0,1,3) que formam uma base S de \mathbb{R}^{3} e pede o vetor de coordenadas de v=(2,7,-4) em relação a essa base S.
Informações relevantes:
Base S=\{u_{1},u_{2},u_{3}\} com u_{1}=(1,2,0), u_{2}=(1,3,2), u_{3}=(0,1,3).
Vetor alvo v=(2,7,-4).
Pergunta explícita: encontrar as coordenadas (\alpha,\beta,\gamma) tais que \alpha u_{1}+\beta u_{2}+\gamma u_{3}=v.
Passo 2
O que significa “vetor de coordenadas em relação à base S”?
Explicação didática: ser coordenadas de v na base S quer dizer que existem escalares \alpha,\beta,\gamma (únicos, porque S é base) tais que a combinação linear abaixo dá v. Escrevemos essa igualdade e daí obtemos um sistema linear cujas incógnitas são \alpha,\beta,\gamma. Portanto vamos montar a equação
\alpha u_{1}+\beta u_{2}+\gamma u_{3}=v.
Passo 3
Substituindo os vetores na combinação linear obtemos, componente a componente,
Aqui cada linha corresponde à coordenada x, y e z respectivamente.]
Passo 4
Método de resolução escolhido: substituição direta (simples e rápido aqui). Começo isolando uma incógnita da equação mais simples. Da primeira equação temos
\alpha=2-\beta.
Expliquei: isolei \alpha porque a primeira equação é a mais simples (soma de duas incógnitas).
Passo 5
Da terceira equação isolo \gamma em função de \beta. A terceira equação é
que é exatamente v. Portanto os coeficientes estão corretos. Comentário didático: como S é base, a solução é única — não haveria outro triplo (\alpha,\beta,\gamma).