Os vetores u_{1}=(1,2,0), u_{2}=(1,3,2) e u_{3}=(0,1,3) formam uma base S de \mathbb{R}^{3}. Encontre o vetor de coordenadas de v=(2,7,-4) em relação a base S .

Passo 1

O enunciado dá três vetores u_{1}=(1,2,0), u_{2}=(1,3,2) e u_{3}=(0,1,3) que formam uma base S de \mathbb{R}^{3} e pede o vetor de coordenadas de v=(2,7,-4) em relação a essa base S.
Informações relevantes:
  • Base S=\{u_{1},u_{2},u_{3}\} com u_{1}=(1,2,0), u_{2}=(1,3,2), u_{3}=(0,1,3).
  • Vetor alvo v=(2,7,-4).
    Pergunta explícita: encontrar as coordenadas (\alpha,\beta,\gamma) tais que \alpha u_{1}+\beta u_{2}+\gamma u_{3}=v.

Passo 2

O que significa “vetor de coordenadas em relação à base S”?
Explicação didática: ser coordenadas de v na base S quer dizer que existem escalares \alpha,\beta,\gamma (únicos, porque S é base) tais que a combinação linear abaixo dá v. Escrevemos essa igualdade e daí obtemos um sistema linear cujas incógnitas são \alpha,\beta,\gamma. Portanto vamos montar a equação
\alpha u_{1}+\beta u_{2}+\gamma u_{3}=v.

Passo 3

Substituindo os vetores na combinação linear obtemos, componente a componente,
\alpha(1,2,0)+\beta(1,3,2)+\gamma(0,1,3)=(2,7,-4).
Isso gera o sistema de equações (escrevendo cada componente separadamente):
\begin{cases} \alpha+\beta=2,\\[4pt] 2\alpha+3\beta+\gamma=7,\\[4pt] 2\beta+3\gamma=-4. \end{cases}
Aqui cada linha corresponde à coordenada x, y e z respectivamente.]

Passo 4

Método de resolução escolhido: substituição direta (simples e rápido aqui). Começo isolando uma incógnita da equação mais simples. Da primeira equação temos
\alpha=2-\beta.
Expliquei: isolei \alpha porque a primeira equação é a mais simples (soma de duas incógnitas).

Passo 5

Da terceira equação isolo \gamma em função de \beta. A terceira equação é
2\beta+3\gamma=-4.
Isolando \gamma temos
3\gamma=-4-2\beta\quad\Rightarrow\quad \gamma=\frac{-4-2\beta}{3}=-\frac{4+2\beta}{3}.
Expliquei: só manipulei algebricamente (subtrair 2\beta e dividir por 3).

Passo 6

Agora substituo \alpha e \gamma em termos de \beta na segunda equação 2\alpha+3\beta+\gamma=7. Substituindo:
2(2-\beta)+3\beta+\left(-\frac{4+2\beta}{3}\right)=7.
Vou resolver passo a passo. Primeiro desenvolvo 2(2-\beta):
4-2\beta+3\beta-\frac{4+2\beta}{3}=7.
Agrupo os termos em \beta:
4+\beta-\frac{4+2\beta}{3}=7.
Para eliminar a fração, multiplico tudo por 3:
3\cdot 4 + 3\cdot \beta - (4+2\beta) = 3\cdot 7.
Isto dá
12+3\beta-4-2\beta=21.
Simplificando os termos sem erro:
(12-4)+(3\beta-2\beta)=21 \quad\Rightarrow\quad 8+\beta=21.
Logo
\beta=21-8=13.

Passo 7

Com \beta=13 volto às expressões que tenho para \alpha e \gamma. Da primeira equação:
\alpha=2-\beta=2-13=-11.
Da expressão que obtivemos para \gamma:
\gamma=-\frac{4+2\beta}{3}=-\frac{4+2\cdot 13}{3}=-\frac{4+26}{3}=-\frac{30}{3}=-10.

Passo 8

Verificação (sempre bom checar na prova): calculo \alpha u_{1}+\beta u_{2}+\gamma u_{3} com os valores achados:
-11(1,2,0)+13(1,3,2)-10(0,1,3)=(-11,-22,0)+(13,39,26)+(0,-10,-30).
Somando coordenada a coordenada:
(-11+13+0,\\\ -22+39-10,\\\ 0+26-30)=(2,7,-4),
que é exatamente v. Portanto os coeficientes estão corretos. Comentário didático: como S é base, a solução é única — não haveria outro triplo (\alpha,\beta,\gamma).

Resposta

(-11,13,-10)

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