As perguntas são:
(a) Determinar os autovalores de A.
(b) Para cada autovalor, calcular um autovetor não nulo (ou seja, um vetor v\neq 0 tal que Av=\lambda v).
Informações relevantes do enunciado:
A matriz A tem elementos indicados na forma acima; em particular os elementos da diagonal são 1,\;2,\;3.
Não há outras informações externas (por exemplo, nenhuma imagem adicional).
Passo 2
O que é um autovalor e como achar? Um número \lambda é autovalor de A se existe vetor não nulo v com
Av=\lambda v.
Isto equivale ao sistema homogêneo
(A-\lambda I)v=0,
que tem solução não trivial exatamente quando \det(A-\lambda I)=0. A função \chi(\lambda)=\det(A-\lambda I) é o polinômio característico.
Observação útil (que facilita aqui): a matriz A-\lambda I é triangular inferior (ou seja, zeros acima da diagonal), porque A é triangular inferior. Para uma matriz triangular, o determinante é o produto das entradas da diagonal. Assim basta subtrair \lambda da diagonal e multiplicar as entradas da diagonal resultantes.
\begin{cases} -2x = 0,\\[4pt] 2x - y = 0,\\[4pt] - x + y + 0\cdot z = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem x=0\]. Substituindo nas outras, da segunda \(-y=0 então y=0. A terceira fica 0=0. Assim z é livre; seja z=t. Portanto
v=t\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Escolhendo t=1 obtemos o autovetor não nulo simples
v^{(3)}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},
correspondente a \lambda=3.]
Passo 6
Resumo rápido do raciocínio para a prova: quando a matriz é triangular, os autovalores são simplesmente as entradas da diagonal. Para cada autovalor \lambda resolve-se (A-\lambda I)v=0 por eliminação (identificar variáveis pivô e variáveis livres), escolher parâmetros para as variáveis livres e, se quiser, escalar o vetor para evitar frações e obter coordenadas inteiras.