Seja A \in M_{3 \times 3}(\mathbb{R}) dada por
A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 2 & 0 \\\\ -1 & 1 & 3 \end{array}\right)
(a) Determine os autovalores de A.
(b) Para cada autovalor, calcule um autovetor não nulo.

Passo 1

O enunciado dá a matriz A\in M_{3\times3}(\mathbb{R}):
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 2 & 0 \\\\ -1 & 1 & 3 \end{pmatrix}
As perguntas são:
(a) Determinar os autovalores de A.
(b) Para cada autovalor, calcular um autovetor não nulo (ou seja, um vetor v\neq 0 tal que Av=\lambda v).
Informações relevantes do enunciado:
  • A matriz A tem elementos indicados na forma acima; em particular os elementos da diagonal são 1,\;2,\;3.
  • Não há outras informações externas (por exemplo, nenhuma imagem adicional).

Passo 2

O que é um autovalor e como achar? Um número \lambda é autovalor de A se existe vetor não nulo v com
Av=\lambda v.
Isto equivale ao sistema homogêneo
(A-\lambda I)v=0,
que tem solução não trivial exatamente quando \det(A-\lambda I)=0. A função \chi(\lambda)=\det(A-\lambda I) é o polinômio característico.
Observação útil (que facilita aqui): a matriz A-\lambda I é triangular inferior (ou seja, zeros acima da diagonal), porque A é triangular inferior. Para uma matriz triangular, o determinante é o produto das entradas da diagonal. Assim basta subtrair \lambda da diagonal e multiplicar as entradas da diagonal resultantes.
Calculemos o polinômio característico:
A-\lambda I= \begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 0 \\\\ 2 & 2-\lambda & 0 \\\\ -1 & 1 & 3-\lambda \end{pmatrix},
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\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda).
Portanto os autovalores são as raízes desse polinômio:
\lambda_1=1,\qquad \lambda_2=2,\qquad \lambda_3=3.

Passo 3

Agora vamos achar, passo a passo, um autovetor não nulo para \lambda=1\). Precisamos resolver \[(A-I)v=0.
Escrevendo v=(x,y,z)^T e A-I:
A-I=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
O sistema linear correspondente é
\begin{cases} 0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 0,\\[4pt] 2x + 1y + 0z = 0,\\[4pt] -1x + 1y + 2z = 0. \end{cases}
A primeira equação não impõe restrição. Da segunda equação temos
y=-2x.
Substituindo na terceira:
- x + (-2x) + 2z = 0 \quad\Rightarrow\quad -3x + 2z = 0.
Daí
z = \frac{3}{2}x.
Escolhemos uma parâmetro livre para x\], digamos \(x=t. Assim
v=t\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 3/2\end{pmatrix}.
Para evitar frações, podemos escolher t=2, obtendo o autovetor inteiro
v^{(1)}=\begin{pmatrix}2\\\ -4\\\ 3\end{pmatrix},
que é não nulo e satisfaz Av^{(1)}=1\cdot v^{(1)}.]

Passo 4

Agora \lambda=2\). Resolvemos \[(A-2I)v=0.
Calculamos
A-2I=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 0 & 0 \\\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Sistema para v=(x,y,z)^T:
\begin{cases} - x = 0,\\[4pt] 2x + 0\cdot y + 0\cdot z = 0,\\[4pt] - x + y + z = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem x=0\]. A segunda é automaticamente satisfeita. A terceira com \(x=0
y+z=0 \quad\Rightarrow\quad y=-z.
Escolhendo parâmetro z=s, obtemos
v=s\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}.
Tomando s=1 (já é um vetor não nulo), um autovetor correspondente a \lambda=2 é
v^{(2)}=\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Finalmente \lambda=3\). Resolvemos \[(A-3I)v=0.
Temos
A-3I=\begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\\\ 2 & -1 & 0 \\\\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Sistema:
\begin{cases} -2x = 0,\\[4pt] 2x - y = 0,\\[4pt] - x + y + 0\cdot z = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem x=0\]. Substituindo nas outras, da segunda \(-y=0 então y=0. A terceira fica 0=0. Assim z é livre; seja z=t. Portanto
v=t\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Escolhendo t=1 obtemos o autovetor não nulo simples
v^{(3)}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},
correspondente a \lambda=3.]

Passo 6

Resumo rápido do raciocínio para a prova: quando a matriz é triangular, os autovalores são simplesmente as entradas da diagonal. Para cada autovalor \lambda resolve-se (A-\lambda I)v=0 por eliminação (identificar variáveis pivô e variáveis livres), escolher parâmetros para as variáveis livres e, se quiser, escalar o vetor para evitar frações e obter coordenadas inteiras.

Resposta

\lambda=1,\\ \lambda=2,\\ \lambda=3
Para \lambda=1:\\ \begin{pmatrix}2\\\ -4\\\ 3\end{pmatrix};\quad\lambda=2:\\ \begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix};\quad\lambda=3:\\ \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}

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