Seja T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right) definido por
T(x, y)=(3 x-y, x+y)
(a) Determine a matriz associada a T na base canônica.
(b) Calcule os autovalores de T.
(c) Para cada autovalor encontrado, determine o respectivo autoespaço.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T \in \mathcal{L}\big(\mathbb{R}^2\big) definida por
T(x,y) = (3x - y,\; x + y).
As perguntas pedem:
(a) determinar a matriz associada a T na base canônica de \mathbb{R}^2;
(b) calcular os autovalores (eigenvalues) de T;
(c) para cada autovalor encontrado, determinar o respectivo autoespaço (espaço próprio, conjunto de autovetores associados, incluindo o vetor nulo).
Informações relevantes dadas explicitamente:
  • A regra de T atua em vetores (x,y) com a fórmula acima.
  • Não há outras restrições; trabalhar na base canônica habitual \{(1,0),(0,1)\}.

Passo 2

Como construir a matriz na base canônica: aplicar T aos vetores da base canônica e colocar os resultados como colunas da matriz.
Calcule T nos vetores da base:
T(1,0) = (3\cdot1 - 0,\;1+0) = (3,1),
T(0,1) = (3\cdot0 - 1,\;0+1) = (-1,1).
Portanto a matriz A de T na base canônica é a matriz cujas colunas são T(1,0) e T(0,1):
A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\[4pt] 1 & 1 \end{pmatrix}.
Explicação rápida do porquê: para qualquer vetor coluna v em coordenadas canônicas, A v dá exatamente T(v), porque as colunas codificam a imagem dos vetores base.]

Passo 3

O que é um autovalor e um autoespaço (refrescando devagar):
  • Dizemos que \lambda\in\mathbb{R} é um autovalor de T se existe um vetor não-nulo v\in\mathbb{R}^2 tal que
T(v) = \lambda v.
  • O conjunto de todos os vetores v que satisfazem essa igualdade (junto com o vetor nulo) é o autoespaço associado a \lambda; em coordenadas matriciais, para A matriz de T, isso equivale a resolver
(A - \lambda I)v = 0,
onde I é a matriz identidade 2\times2. Não-trivialidade exige \det(A-\lambda I)=0. Esse determinante dá o polinômio característico; suas raízes são os autovalores.

Passo 4

Vamos calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I). Primeiro escrevemos A-\lambda I:
A - \lambda I = \begin{pmatrix} 3-\lambda & -1 \\[4pt] 1 & 1-\lambda \end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A-\lambda I) = (3-\lambda)(1-\lambda) - (-1)\cdot 1.
Desenvolvendo passo a passo:
(3-\lambda)(1-\lambda) = 3\cdot1 -3\lambda -\lambda\cdot1 +\lambda^2 = 3 -4\lambda + \lambda^2,
então
\det(A-\lambda I) = \big(3 -4\lambda + \lambda^2\big) + 1 = \lambda^2 -4\lambda +4.
Observe que esse polinômio é um quadrado perfeito:
\lambda^2 -4\lambda +4 = (\lambda - 2)^2.
Logo a única raiz é \lambda = 2, com multiplicidade algébrica 2.]

Passo 5

Agora determinamos o autoespaço associado a [\lambda = 2). Resolvemos (A - 2I)v = 0.
Calcule A - 2I:
A - 2I = \begin{pmatrix} 3-2 & -1 \\[4pt] 1 & 1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\[4pt] 1 & -1 \end{pmatrix}.
Se v = (x,y)^\top, o sistema linear (A-2I)v=0 é
\begin{cases} 1\cdot x - 1\cdot y = 0,\\[4pt] 1\cdot x - 1\cdot y = 0. \end{cases}
As duas equações são idênticas. Da primeira obtemos x - y = 0\], isto é, \[x = y.\] Portanto os vetores solução são todos os vetores da forma \[v = \begin{pmatrix} x \\\ x \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\\\ 1 \end{pmatrix},\] onde \(x\in\mathbb{R}. Excluindo x=0 temos os autovetores não-nulos; incluindo x=0 temos o autoespaço completo.
Assim o autoespaço relativo a \lambda=2 é
\operatorname{Eig}(2) = \operatorname{span}\!\left\{ \begin{pmatrix}1\\[3pt]1\end{pmatrix} \right\}.
Comentário útil para a prova: aqui o autovalor 2 tem multiplicidade algébrica 2 (polinômio característico com raiz dupla), mas o autoespaço tem dimensão 1 (multiplicidade geométrica 1). Isso significa que a matriz não é diagonalizável sobre \mathbb{R} — se isso for pedido em outra questão, basta verificar essa diferença entre multiplicidades.]

Passo 6

Verificação direta rápida (bom hábito na prova): pegue o autovetor \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} e calcule T nele:
T(1,1) = (3\cdot1 - 1,\;1+1) = (2,2) = 2\cdot(1,1),
confirmando que é autovetor com autovalor 2.

Resposta

(a) \displaystyle \begin{pmatrix} 3 & -1 \\[4pt] 1 & 1 \end{pmatrix}
(b) \displaystyle \lambda = 2 (multiplicidade algébrica 2)
(c) \displaystyle \operatorname{Eig}(2)=\operatorname{span}\!\left\{ \begin{pmatrix}1\\[3pt]1\end{pmatrix} \right\}]

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