Seja
definido por
(a) Determine a matriz associada a
na base canônica.
(b) Calcule os autovalores de
.
(c) Para cada autovalor encontrado, determine o respectivo autoespaço.
(b) Calcule os autovalores de
(c) Para cada autovalor encontrado, determine o respectivo autoespaço.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
definida por
As perguntas pedem:
(a) determinar a matriz associada a na base canônica de
;
(b) calcular os autovalores (eigenvalues) de ;
(c) para cada autovalor encontrado, determinar o respectivo autoespaço (espaço próprio, conjunto de autovetores associados, incluindo o vetor nulo).
(a) determinar a matriz associada a
(b) calcular os autovalores (eigenvalues) de
(c) para cada autovalor encontrado, determinar o respectivo autoespaço (espaço próprio, conjunto de autovetores associados, incluindo o vetor nulo).
Informações relevantes dadas explicitamente:
- A regra de
atua em vetores com a fórmula acima. - Não há outras restrições; trabalhar na base canônica habitual
.
Passo 2
Como construir a matriz na base canônica: aplicar
aos vetores da base canônica e colocar os resultados como colunas da matriz.
Calcule
nos vetores da base:
Portanto a matriz
de
na base canônica é a matriz cujas colunas são
e
:
Explicação rápida do porquê: para qualquer vetor coluna
em coordenadas canônicas,
dá exatamente
, porque as colunas codificam a imagem dos vetores base.]
Passo 3
O que é um autovalor e um autoespaço (refrescando devagar):
- Dizemos que
é um autovalor de se existe um vetor não-nulo tal que
- O conjunto de todos os vetores
que satisfazem essa igualdade (junto com o vetor nulo) é o autoespaço associado a ; em coordenadas matriciais, para matriz de , isso equivale a resolver
onde
é a matriz identidade
. Não-trivialidade exige
. Esse determinante dá o polinômio característico; suas raízes são os autovalores.
Passo 4
Vamos calcular o polinômio característico
. Primeiro escrevemos
:
O determinante é
Desenvolvendo passo a passo:
então
Observe que esse polinômio é um quadrado perfeito:
Logo a única raiz é
, com multiplicidade algébrica
.]
Passo 5
Agora determinamos o autoespaço associado a [\lambda = 2). Resolvemos
.
Calcule
:
Se
, o sistema linear
é
As duas equações são idênticas. Da primeira obtemos
. Excluindo
temos os autovetores não-nulos; incluindo
temos o autoespaço completo.
Assim o autoespaço relativo a
é
Comentário útil para a prova: aqui o autovalor
tem multiplicidade algébrica
(polinômio característico com raiz dupla), mas o autoespaço tem dimensão
(multiplicidade geométrica
). Isso significa que a matriz não é diagonalizável sobre
— se isso for pedido em outra questão, basta verificar essa diferença entre multiplicidades.]
Passo 6
Verificação direta rápida (bom hábito na prova): pegue o autovetor
e calcule
nele:
confirmando que é autovetor com autovalor
.
Resposta
(a)
(b) (multiplicidade algébrica
)
(b)
(c)
]