Seja T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}\right) um operador linear tal que
T(1,0,0)=(1,0,0), \quad T(0,1,0)=(0,2,0), \quad T(0,0,1)=(0,0,3)
(a) Mostre que os vetores dados são autovetores de T.
(b) Determine os autovalores correspondentes.
(c) Conclua que T é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} e informa as imagens dos três vetores padrão:
T(1,0,0)=(1,0,0),\qquad T(0,1,0)=(0,2,0),\qquad T(0,0,1)=(0,0,3).
O que se pede:
(a) mostrar que os vetores (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1) são autovetores de T;
(b) determinar os autovalores correspondentes a esses autovetores;
(c) concluir que T é diagonalizável.

Passo 2

Definição útil (explicando o conceito): um vetor v\in\mathbb{R}^{3} com v\neq(0,0,0) é um autovetor de T se existe um escalar \lambda\in\mathbb{R} tal que
T(v)=\lambda v.
Nesse caso chamamos \lambda de autovalor associado a v. Ou seja, autovetor é um vetor não-nulo que é apenas escalado por T (não muda de direção, só de comprimento e possivelmente sinal).

Passo 3

Aplicando a definição aos vetores dados:
  • Para v_1=(1,0,0) temos, pelo enunciado,
T(v_1)=T(1,0,0)=(1,0,0)=1\cdot(1,0,0)=1\cdot v_1.
Isto mostra que v_1 é um autovetor e que o escalar que o multiplica é \lambda_1=1.
  • Para v_2=(0,1,0) temos
T(v_2)=T(0,1,0)=(0,2,0)=2\cdot(0,1,0)=2\cdot v_2.
Logo v_2 é autovetor com autovalor \lambda_2=2.
  • Para v_3=(0,0,1) temos
T(v_3)=T(0,0,1)=(0,0,3)=3\cdot(0,0,1)=3\cdot v_3.
Logo v_3 é autovetor com autovalor \lambda_3=3.
Em todas as três verificações os vetores usados são não-nulos, portanto as igualdades acima atendem à definição de autovetor/autovalor.

Passo 4

Resumo parcial: os três vetores fornecidos são autovetores, com autovalores \lambda_1=1, \lambda_2=2, \lambda_3=3.
Agora explico por que disso segue que T é diagonalizável. Um operador linear T é diagonalizável se existe uma base de \mathbb{R}^{3} composta por autovetores de T. Se tal base existe, a matriz de T nessa base é diagonal (os elementos diagonais são os autovalores).
No nosso caso os vetores v_1,v_2,v_3 são exatamente os vetores da base canônica de \mathbb{R}^{3}. Essa família é linearmente independente e gera todo \mathbb{R}^{3}, portanto é uma base. Como essa base é formada por autovetores de T, concluímos que T tem uma base de autovetores e, por definição, é diagonalizável.
Uma explicação alternativa (teorema útil): autovetores correspondentes a autovalores distintos são linearmente independentes. Aqui os autovalores 1,2,3 são todos distintos, então os três autovetores associados são LI; como 3 vetores LI em \mathbb{R}^{3} formam uma base, novamente conclui-se que T é diagonalizável.

Passo 5

Mostro também explicitamente a matriz de T na base canônica (para ficar claro como fica a diagonalização). Como T(e_1)=1e_1, T(e_2)=2e_2, T(e_3)=3e_3, a matriz de T na base canônica é a matriz diagonal
[T]_{\text{can}}=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&2&0\\[4pt]0&0&3\end{pmatrix}.
Isto demonstra concretamente que T é semelhante a essa matriz diagonal (neste caso a transformação já está representada por uma matriz diagonal na base canônica), o que é outra maneira de dizer que T é diagonalizável.]

Resposta

(a) Os vetores \,(1,0,0),\\ (0,1,0),\\ (0,0,1)\, são autovetores de T.\n
(b) Os autovalores correspondentes são \,1,\\\ 2,\\\ 3\, respectivamente.\n
(c) T é diagonalizável.

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