Q4: Seja T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}-x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}\right., \left.x_{1}+x_{2}+x_{3}+3 x_{4}, \quad 2 x_{1}-6 x_{2}+6 x_{3}+2 x_{4}\right).
A dimensão da imagem de T é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado fornece a transformação linear T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x_1,x_2,x_3,x_4)=\bigl(x_1-x_2+2x_3+2x_4,\; x_1+x_2+x_3+3x_4,\; 2x_1-6x_2+6x_3+2x_4\bigr).
O que se pede: determinar a dimensão da imagem de T (ou seja, a dimensão do conjunto dos vetores alcançáveis por T). As informações relevantes dadas são os coeficientes de x_1,x_2,x_3,x_4 em cada uma das três componentes da imagem.

Passo 2

Ideia geral (explicação didática):
  • A imagem de T é o subespaço de \mathbb{R}^3 gerado pelas imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^4. Ou seja, pelos vetores T(e_1),T(e_2),T(e_3),T(e_4).
  • Colocando esses vetores como colunas de uma matriz A de tamanho 3\times4, a dimensão da imagem de T é igual ao posto (rank) dessa matriz A, isto é, o número de colunas linearmente independentes.
  • Para encontrar esse posto podemos fazer eliminação por linhas (operações elementares) e contar o número de linhas não-nulas (ou pivôs) na forma escalonada; esse número é o posto.

Passo 3

Calcular as imagens da base canônica (isto dá as colunas da matriz):
T(e_1)=T(1,0,0,0)=(1,1,2),
T(e_2)=T(0,1,0,0)=(-1,1,-6),
T(e_3)=T(0,0,1,0)=(2,1,6),
T(e_4)=T(0,0,0,1)=(2,3,2).
Portanto a matriz de T na base canônica é
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 2\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 3\\[4pt] 2 & -6 & 6 & 2 \end{pmatrix},
onde cada coluna é T(e_i).]

Passo 4

Vamos escalonar A por eliminação por linhas. Começo com a matriz
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 2\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 3\\[4pt] 2 & -6 & 6 & 2 \end{pmatrix}.
Usarei operações que não mudam o posto.]

Passo 5

Zerar abaixo do pivô da primeira coluna:
  • R_2 \leftarrow R_2 - R_1:
R_2 = (1,1,1,3)-(1,-1,2,2)=(0,2,-1,1).
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1:
R_3 = (2,-6,6,2)-2(1,-1,2,2)=(0,-4,2,-2).
Agora a matriz é
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 2 & -1 & 1\\[4pt] 0 & -4 & 2 & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Usar R_2 para eliminar R_3:
  • R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2:
R_3 = (0,-4,2,-2)+2(0,2,-1,1)=(0,0,0,0).
A matriz torna-se
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 2 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora podemos ver claramente o número de linhas não nulas (ou pivôs): existem exatamente duas linhas não nulas (a primeira e a segunda). Portanto o posto de A é 2. Explicando: cada linha não nula indica um pivô em alguma coluna; o número de pivôs é o número de colunas linearmente independentes, que é a dimensão do espaço coluna (imagem).

Passo 8

Para reforçar concretamente: as colunas T(e_1) e T(e_2) formam uma base da imagem, e as colunas T(e_3) e T(e_4) são combinações lineares delas. Podemos encontrar essas combinações resolvendo
a\,(1,1,2)+b\,(-1,1,-6)=(2,1,6)
para a coluna 3; isso dá a=\tfrac{3}{2}, b=-\tfrac{1}{2}, logo
T(e_3)=\tfrac{3}{2}T(e_1)-\tfrac{1}{2}T(e_2).
Para a coluna 4, resolvendo
a\,(1,1,2)+b\,(-1,1,-6)=(2,3,2)
obtém-se a=\tfrac{5}{2}, b=\tfrac{1}{2}, logo
T(e_4)=\tfrac{5}{2}T(e_1)+\tfrac{1}{2}T(e_2).
Isto confirma que só duas colunas são necessárias para gerar a imagem.

Resposta

(C) 2

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