O que se pede: determinar a dimensão da imagem de T (ou seja, a dimensão do conjunto dos vetores alcançáveis por T). As informações relevantes dadas são os coeficientes de x_1,x_2,x_3,x_4 em cada uma das três componentes da imagem.
Passo 2
Ideia geral (explicação didática):
A imagem de T é o subespaço de \mathbb{R}^3 gerado pelas imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^4. Ou seja, pelos vetores T(e_1),T(e_2),T(e_3),T(e_4).
Colocando esses vetores como colunas de uma matriz A de tamanho 3\times4, a dimensão da imagem de T é igual ao posto (rank) dessa matriz A, isto é, o número de colunas linearmente independentes.
Para encontrar esse posto podemos fazer eliminação por linhas (operações elementares) e contar o número de linhas não-nulas (ou pivôs) na forma escalonada; esse número é o posto.
Passo 3
Calcular as imagens da base canônica (isto dá as colunas da matriz):
Agora podemos ver claramente o número de linhas não nulas (ou pivôs): existem exatamente duas linhas não nulas (a primeira e a segunda). Portanto o posto de A é 2. Explicando: cada linha não nula indica um pivô em alguma coluna; o número de pivôs é o número de colunas linearmente independentes, que é a dimensão do espaço coluna (imagem).
Passo 8
Para reforçar concretamente: as colunas T(e_1) e T(e_2) formam uma base da imagem, e as colunas T(e_3) e T(e_4) são combinações lineares delas. Podemos encontrar essas combinações resolvendo
a\,(1,1,2)+b\,(-1,1,-6)=(2,1,6)
para a coluna 3; isso dá a=\tfrac{3}{2}, b=-\tfrac{1}{2}, logo
T(e_3)=\tfrac{3}{2}T(e_1)-\tfrac{1}{2}T(e_2).
Para a coluna 4, resolvendo
a\,(1,1,2)+b\,(-1,1,-6)=(2,3,2)
obtém-se a=\tfrac{5}{2}, b=\tfrac{1}{2}, logo
T(e_4)=\tfrac{5}{2}T(e_1)+\tfrac{1}{2}T(e_2).
Isto confirma que só duas colunas são necessárias para gerar a imagem.