O que é pedido: determinar a dimensão da imagem de T (ou seja, o número de vetores linearmente independentes que são atingidos por T).
Informações relevantes fornecidas:
A transformação tem domínio \mathbb{R}^{4} e contradomínio \mathbb{R}^{3}.
As segunda e terceira componentes de T são idênticas (peguei isso do enunciado).
Não há figura ou tabela; toda informação necessária está no enunciado.
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar (aula rápida e prática): a dimensão da imagem de uma transformação linear T é igual ao posto (rank) da matriz que representa T na base canônica. Vou representar T por sua matriz A de tamanho 3\times4, cujas linhas são as coordenadas das componentes de T em relação às variáveis x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}. Explico: cada coluna de A é a imagem do vetor canônico correspondente; o posto de A é o número de colunas linearmente independentes (ou, equivalentemente, o número de pivôs na forma escalonada), e isso dá a dimensão da imagem.
Passo 3
Escrevendo a matriz A de T (peguei os coeficientes direto do enunciado):
Agora anulo o terceiro linha usando a segunda: faço R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{2}. Como as duas linhas são iguais, o resultado é R_{3}=[0\\\ 0\\\ 0\\\ 0]. Assim a matriz escalonada é
Aqui aparecem dois pivôs: um na posição (1,1) e outro na (2,2) (ou, mais formalmente, duas linhas não nulas na forma escalonada). Portanto o posto de A é 2.]
Passo 6
Interpretação didática: o posto =2 significa que a imagem de T é um subespaço de \mathbb{R}^{3} de dimensão 2. Em palavras mais simples: todos os vetores T(x) vivem num plano em \mathbb{R}^{3} (não em toda a \mathbb{R}^{3}), e esse plano é gerado por duas colunas independentes da matriz A. O fato de a segunda e terceira coordenadas serem iguais já dava uma pista de redução de dimensão, mas só a eliminação mostra que realmente temos exatamente duas direções independentes alcançadas por T.