Q4: Seja T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}+2 x_{2}+x_{3}-x_{4}\right., \left.-2 x_{1}-x_{2}-4 x_{3}+4 x_{4}, \quad-2 x_{1}-x_{2}-4 x_{3}+4 x_{4}\right). A dimensão da imagem de T é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)=\bigl(x_{1}+2x_{2}+x_{3}-x_{4},\;-2x_{1}-x_{2}-4x_{3}+4x_{4},\;-2x_{1}-x_{2}-4x_{3}+4x_{4}\bigr).
O que é pedido: determinar a dimensão da imagem de T (ou seja, o número de vetores linearmente independentes que são atingidos por T).
Informações relevantes fornecidas:
  • A transformação tem domínio \mathbb{R}^{4} e contradomínio \mathbb{R}^{3}.
  • As segunda e terceira componentes de T são idênticas (peguei isso do enunciado).
  • Não há figura ou tabela; toda informação necessária está no enunciado.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (aula rápida e prática): a dimensão da imagem de uma transformação linear T é igual ao posto (rank) da matriz que representa T na base canônica. Vou representar T por sua matriz A de tamanho 3\times4, cujas linhas são as coordenadas das componentes de T em relação às variáveis x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}. Explico: cada coluna de A é a imagem do vetor canônico correspondente; o posto de A é o número de colunas linearmente independentes (ou, equivalentemente, o número de pivôs na forma escalonada), e isso dá a dimensão da imagem.

Passo 3

Escrevendo a matriz A de T (peguei os coeficientes direto do enunciado):
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -1\\[4pt] -2 & -1 & -4 & 4\\[4pt] -2 & -1 & -4 & 4 \end{pmatrix}.
Observação: a terceira linha é idêntica à segunda (isso já indica que o posto não pode ser 3, pois duas linhas iguais geram dependência linear).]

Passo 4

Vamos calcular o posto de A por eliminação por linhas (operando para obter a forma escalonada e contar pivôs). Copiando A:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -1\\[4pt] -2 & -1 & -4 & 4\\[4pt] -2 & -1 & -4 & 4 \end{pmatrix}.
Primeira operação: anular o elemento abaixo do pivô da primeira coluna. Faço R_{2}\leftarrow R_{2}+2R_{1} e R_{3}\leftarrow R_{3}+2R_{1}. Calculando:
  • Para R_{2}: -2+2\cdot1=0, -1+2\cdot2=3, -4+2\cdot1=-2, 4+2\cdot(-1)=2. Então R_{2}=[0\\\ 3\\\ -2\\\ 2].
  • Para R_{3} temos os mesmos cálculos, pois R_{3} era igual a R_{2} inicialmente, então R_{3}=[0\\\ 3\\\ -2\\\ 2].
    A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 3 & -2 & 2\\[4pt] 0 & 3 & -2 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora anulo o terceiro linha usando a segunda: faço R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{2}. Como as duas linhas são iguais, o resultado é R_{3}=[0\\\ 0\\\ 0\\\ 0]. Assim a matriz escalonada é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 3 & -2 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Aqui aparecem dois pivôs: um na posição (1,1) e outro na (2,2) (ou, mais formalmente, duas linhas não nulas na forma escalonada). Portanto o posto de A é 2.]

Passo 6

Interpretação didática: o posto =2 significa que a imagem de T é um subespaço de \mathbb{R}^{3} de dimensão 2. Em palavras mais simples: todos os vetores T(x) vivem num plano em \mathbb{R}^{3} (não em toda a \mathbb{R}^{3}), e esse plano é gerado por duas colunas independentes da matriz A. O fato de a segunda e terceira coordenadas serem iguais já dava uma pista de redução de dimensão, mas só a eliminação mostra que realmente temos exatamente duas direções independentes alcançadas por T.

Resposta

(C)

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