Q5: A_{3 \times 3} é tal que Núcleo A=\operatorname{span}\{(3,1,0),(-2,0,-1)\} e Imagem A=\operatorname{span}\{(2,-2,-1)\}. Se a_{23}=-12, calcule a matriz A. Assinale abaixo o valor da entrada a_{11} :
(B) -6
(D) -4
(F) -2
(H) 0

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Núcleo de A: \ker(A)=\operatorname{span}\{(3,1,0),(-2,0,-1)\}.
  • Imagem de A: \operatorname{Im}(A)=\operatorname{span}\{(2,-2,-1)\}.
  • A entrada a_{23} (linha 2, coluna 3) vale a_{23}=-12.
    A pergunta: calcular a matriz A_{3\times3} compatível com essas informações e, especificamente, assinalar o valor da entrada a_{11}.

Passo 2

Observação sobre dimensões e consequência imediata (aulas rápidas de teoria): \n
Pelo teorema dimensão-núcleo-imagem (rank-nullity) para transformações lineares \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 vale
\dim(\ker(A))+\dim(\operatorname{Im}(A))=3.
Aqui \ker(A) é gerado por duas vetores independentes, então \dim(\ker(A))=2. Logo \dim(\operatorname{Im}(A))=1, que bate com a informação dada (imagem gerada por um único vetor). Isso indica que A tem posto 1.

Passo 3

Consequência prática para matrizes de posto 1: toda matriz de posto 1 pode ser escrita como produto externo de um vetor coluna v\in\mathbb{R}^3 (que gera a imagem) por um vetor linha w^T\in\mathbb{R}^{1\times3} (que define o funcional linear). Ou seja,
A = v\,w^T.
Explicação: para todo x\in\mathbb{R}^3 temos Ax=(w^T x)\,v, então as imagens estão todas na direção de v e o fator escalar é dado pelo funcional w^T x.
No nosso caso podemos tomar v=(2,-2,-1) (pego da informação da imagem).

Passo 4

Ligação entre núcleo e w: \n
\ker(A)=\{x\mid Ax=0\}=\{x\mid (w^T x)\,v=0\}. Como v\neq 0, isso equivale a w^T x=0. Portanto o vetor linha w deve ser ortogonal a todos os vetores do núcleo. Em particular w deve ser ortogonal aos vetores (3,1,0) e (-2,0,-1).
Escrevemos w=(w_1,w_2,w_3) e impomos:
\begin{cases} (3,1,0)\cdot(w_1,w_2,w_3)=3w_1+w_2+0\cdot w_3=0,\\[4pt] (-2,0,-1)\cdot(w_1,w_2,w_3)=-2w_1+0\cdot w_2-1w_3=0. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema para w: \n
Das equações obtemos
3w_1+w_2=0\quad\Rightarrow\quad w_2=-3w_1,
-2w_1-w_3=0\quad\Rightarrow\quad w_3=-2w_1.
Logo w é proporcional a (1,-3,-2). Podemos escrever w=\beta(1,-3,-2) para algum escalar \beta\neq0. Note que o escalar \beta só muda a escala de A=vw^T, então ele será fixado pela condição numérica a_{23}=-12.

Passo 6

Calcular a base do produto externo (com \beta=1) e depois colocar o fator \beta: \n
Primeiro calcule B=v(1,-3,-2)^T. Com v=(2,-2,-1) temos
B=\begin{pmatrix}2\\[2pt]-2\\[2pt]-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & -3 & -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot1 & 2\cdot(-3) & 2\cdot(-2)\\[4pt] -2\cdot1 & -2\cdot(-3) & -2\cdot(-2)\\[4pt] -1\cdot1 & -1\cdot(-3) & -1\cdot(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -6 & -4\\[4pt] -2 & 6 & 4\\[4pt] -1 & 3 & 2 \end{pmatrix}.
A matriz geral é A=\beta B.]

Passo 7

Usar a condição a_{23}=-12 para determinar \beta: \n
A entrada a_{23} é a linha 2, coluna 3 de A. Na matriz B essa entrada vale 4. Então em A=\beta B temos a_{23}=\beta\cdot 4. Como a_{23}=-12,
4\beta=-12\quad\Rightarrow\quad \beta=-3.

Passo 8

Calcular A e obter a_{11}: \n
Multiplicando B por \beta=-3 obtemos
A = -3\begin{pmatrix} 2 & -6 & -4\\[4pt] -2 & 6 & 4\\[4pt] -1 & 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & 18 & 12\\[4pt] 6 & -18 & -12\\[4pt] 3 & -9 & -6 \end{pmatrix}.
Dessa matriz vemos que a_{11}=-6.]

Resposta

(B) -6

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