Q5: A_{3 \times 3} é tal que Núcleo A=\operatorname{span}\{(3,1,0),(-2,0,-1)\} e Imagem A=\operatorname{span}\{(2,-2,-1)\}. Se a_{23}=-12, calcule a matriz A. Assinale abaixo o valor da entrada a_{11} :
(B) -6
(D) -4
(F) -2
(H) 0
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
Núcleo de A: \ker(A)=\operatorname{span}\{(3,1,0),(-2,0,-1)\}.
Imagem de A: \operatorname{Im}(A)=\operatorname{span}\{(2,-2,-1)\}.
A entrada a_{23} (linha 2, coluna 3) vale a_{23}=-12.
A pergunta: calcular a matriz A_{3\times3} compatível com essas informações e, especificamente, assinalar o valor da entrada a_{11}.
Passo 2
Observação sobre dimensões e consequência imediata (aulas rápidas de teoria): \n
Pelo teorema dimensão-núcleo-imagem (rank-nullity) para transformações lineares \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 vale
\dim(\ker(A))+\dim(\operatorname{Im}(A))=3.
Aqui \ker(A) é gerado por duas vetores independentes, então \dim(\ker(A))=2. Logo \dim(\operatorname{Im}(A))=1, que bate com a informação dada (imagem gerada por um único vetor). Isso indica que A tem posto 1.
Passo 3
Consequência prática para matrizes de posto 1: toda matriz de posto 1 pode ser escrita como produto externo de um vetor coluna v\in\mathbb{R}^3 (que gera a imagem) por um vetor linha w^T\in\mathbb{R}^{1\times3} (que define o funcional linear). Ou seja,
A = v\,w^T.
Explicação: para todo x\in\mathbb{R}^3 temos Ax=(w^T x)\,v, então as imagens estão todas na direção de v e o fator escalar é dado pelo funcional w^T x.
No nosso caso podemos tomar v=(2,-2,-1) (pego da informação da imagem).
Passo 4
Ligação entre núcleo e w: \n \ker(A)=\{x\mid Ax=0\}=\{x\mid (w^T x)\,v=0\}. Como v\neq 0, isso equivale a w^T x=0. Portanto o vetor linha w deve ser ortogonal a todos os vetores do núcleo. Em particular w deve ser ortogonal aos vetores (3,1,0) e (-2,0,-1).
Resolver o sistema para w: \n
Das equações obtemos
3w_1+w_2=0\quad\Rightarrow\quad w_2=-3w_1,
-2w_1-w_3=0\quad\Rightarrow\quad w_3=-2w_1.
Logo w é proporcional a (1,-3,-2). Podemos escrever w=\beta(1,-3,-2) para algum escalar \beta\neq0. Note que o escalar \beta só muda a escala de A=vw^T, então ele será fixado pela condição numérica a_{23}=-12.
Passo 6
Calcular a base do produto externo (com \beta=1) e depois colocar o fator \beta: \n
Primeiro calcule B=v(1,-3,-2)^T. Com v=(2,-2,-1) temos
Usar a condição a_{23}=-12 para determinar \beta: \n
A entrada a_{23} é a linha 2, coluna 3 de A. Na matriz B essa entrada vale 4. Então em A=\beta B temos a_{23}=\beta\cdot 4. Como a_{23}=-12,
4\beta=-12\quad\Rightarrow\quad \beta=-3.
Passo 8
Calcular A e obter a_{11}: \n
Multiplicando B por \beta=-3 obtemos