Q3: Seja T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}\right., \left.-x_{1}-3 x_{2}-2 x_{3}+2 x_{4}, \quad-x_{1}+3 x_{2}+x_{3}-x_{4}\right).
A dimensão da imagem de T é:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
\;T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=\bigl(x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4},\;-x_{1}-3x_{2}-2x_{3}+2x_{4},\;-x_{1}+3x_{2}+x_{3}-x_{4}\bigr).
O que nos pedem é a dimensão da imagem de T, ou seja \dim(\mathrm{Im}\,T). Em aula vimos que isso equivale ao posto (rank) da matriz associada a T na base canônica.

Passo 2

Vamos escrever a matriz A de T relativa às bases canônicas de \mathbb{R}^4 e \mathbb{R}^3. Cada coluna de A é a imagem de um vetor da base de \mathbb{R}^4:
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\\\ -1 & -3 & -2 & 2 \\\\ -1 & 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Então
\dim(\mathrm{Im}\,T)=\mathrm{rank}(A).

Passo 3

Para calcular o posto, fazemos eliminação de Gauss em A. Primeiro usamos a primeira linha para zerar abaixo:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\\\ -1 & -3 & -2 & 2 \\\\ -1 & 3 & 1 & -1 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{\substack{R_{2}\to R_{2}+R_{1}\R_{3}\to R_{3}+R_{1}}}\; \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\\\ 0 & -2 & -1 & 1 \\\\ 0 & 4 & 2 & -2 \end{pmatrix}.
Em seguida zeramos a terceira linha usando a segunda:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\\\ 0 & -2 & -1 & 1 \\\\ 0 & 4 & 2 & -2 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_{3}\to R_{3}+2\,R_{2}}\; \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\\\ 0 & -2 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Restaram exatamente duas linhas não nulas, logo o posto de A é 2.

Passo 4

Portanto
\dim(\mathrm{Im}\,T)=\mathrm{rank}(A)=2.
Isso corresponde à alternativa (B).

Resposta

(B)

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