Q3: Seja T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}\right., \left.-x_{1}-3 x_{2}-2 x_{3}+2 x_{4}, \quad-x_{1}+3 x_{2}+x_{3}-x_{4}\right).
A dimensão da imagem de T é:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear \;T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3 definida por
O que nos pedem é a dimensão da imagem de T, ou seja \dim(\mathrm{Im}\,T). Em aula vimos que isso equivale ao posto (rank) da matriz associada a T na base canônica.
Passo 2
Vamos escrever a matriz A de T relativa às bases canônicas de \mathbb{R}^4 e \mathbb{R}^3. Cada coluna de A é a imagem de um vetor da base de \mathbb{R}^4: