Q2: Considere a base ORTOGONAL de \mathbb{R}^{4}
\beta=\left\{\vec{q}_{1}, \vec{q}_{2}, \vec{q}_{3}, \vec{q}_{4}\right\}, \text { com } \vec{q}_{3}=\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ -2 \\\\ 3 \\\\ 1 \end{array}\right]
e o vetor \vec{v}=(-9,10,-10,8).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{3} do vetor \vec{x}.
(A) -2
(B) 2
(C) 3
(D) -3
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado nos dá uma base ortogonal \beta=\{\vec q_{1},\vec q_{2},\vec q_{3},\vec q_{4}\} de \mathbb{R}^4 e pede a coordenada x_{3} de \vec v=(-9,10,-10,8) em relação à base. Como a base é ortogonal, vamos usar a projeção de \vec v em \vec q_{3} para obter x_{3}.

Passo 2

Em uma base ortogonal, a coordenada x_{i} de \vec v em relação a \vec q_{i} é dada por
x_{i} \;=\;\frac{\vec v\cdot \vec q_{i}}{\vec q_{i}\cdot \vec q_{i}}.
Nesse caso, queremos x_{3}=\frac{\vec v\cdot \vec q_{3}}{\vec q_{3}\cdot \vec q_{3}}.

Passo 3

Calculamos o produto escalar \vec v\cdot \vec q_{3}. Temos \vec q_{3}=(3,-2,3,1), então
\vec v\cdot \vec q_{3} =(-9)\cdot 3 + 10\cdot(-2) + (-10)\cdot 3 + 8\cdot 1 =-27 -20 -30 +8 =-69.

Passo 4

Agora calculamos \vec q_{3}\cdot \vec q_{3}=\|\vec q_{3}\|^{2}. Como \vec q_{3}=(3,-2,3,1),
\|\vec q_{3}\|^{2} =3^{2}+(-2)^{2}+3^{2}+1^{2} =9+4+9+1 =23.

Passo 5

Dividindo, obtemos
x_{3} =\frac{-69}{23} =-3.

Resposta

(D) -3

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