Q4: Seja T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}+x_{2}-2 x_{3}-x_{4}\right., \left.2 x_{1}+5 x_{2}-6 x_{3}-x_{4}, \quad x_{1}+4 x_{2}-3 x_{3}-2 x_{4}\right). A dimensão da imagem de T é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(\checkmark) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3 definida por
T\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)=\bigl(x_{1}+x_{2}-2x_{3}-x_{4},\;2x_{1}+5x_{2}-6x_{3}-x_{4},\;x_{1}+4x_{2}-3x_{3}-2x_{4}\bigr).
A pergunta é: qual é a dimensão da imagem de T? (Ou seja, qual é \dim(\operatorname{Im}T)?)
As informações relevantes que o enunciado dá são os coeficientes das combinações lineares que formam as três componentes da imagem de T.

Passo 2

Entendendo o que é pedido (em linguagem prática e direta):
  • A imagem de T é o conjunto de todos os vetores em \mathbb{R}^3 que podem ser escritos como T(x) para algum x\in\mathbb{R}^4.
  • A dimensão da imagem (também chamada de posto ou rank) é o número de vetores linearmente independentes que geram essa imagem.
    Um procedimento simples para calcular isso quando a transformação é dada por fórmulas lineares é escrever a matriz associada a T na base padrão e calcular o posto (rank) dessa matriz.

Passo 3

Escrevendo a matriz associada a T na base canônica: cada coluna é a imagem de um vetor da base padrão de \mathbb{R}^4. A partir das expressões dadas, a matriz A (de tamanho 3\times4) é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & -1\\[4pt] 2 & 5 & -6 & -1\\[4pt] 1 & 4 & -3 & -2 \end{pmatrix}.
Explicação curta: a primeira coluna são os coeficientes de x_{1} nas três componentes, a segunda coluna os de x_{2}, etc.]

Passo 4

Vamos calcular o posto de A por eliminação (redução por linhas) para obter uma forma escalonada e contar pivôs. Começamos com
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & -1\\[4pt] 2 & 5 & -6 & -1\\[4pt] 1 & 4 & -3 & -2 \end{pmatrix}.
Fazemos operações de linha (permitidas, preservam o espaço gerado pelas colunas em relação ao número de pivôs das linhas):
  1. R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1:
R_2 = (2,5,-6,-1)-2(1,1,-2,-1) = (0,3,-2,1).
  1. R_3 \leftarrow R_3 - R_1:
R_3 = (1,4,-3,-2)-(1,1,-2,-1) = (0,3,-1,-1).
Após essas duas operações temos
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & -1\\[4pt] 0 & 3 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 3 & -1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Continuando a eliminação para zerar a coluna 2 na terceira linha:
  1. R_3 \leftarrow R_3 - R_2:
R_3 = (0,3,-1,-1)-(0,3,-2,1) = (0,0,1,-2).
Agora a matriz é
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & -1\\[4pt] 0 & 3 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}.
Perceba que já temos três linhas não nulas e um pivô (primeiro não zero) em cada uma das três primeiras linhas: coluna 1, coluna 2 e coluna 3 respectivamente — portanto, já vemos três pivôs.]

Passo 6

Podemos tornar a forma ainda mais clara (opcional, para confirmar independência):
  1. R_2 \leftarrow \tfrac{1}{3}R_2 = (0,1,0,-1) depois de usar R_3 para zerar a terceira entrada de R_2:
    Primeiro R_2 \leftarrow R_2 + (-2)R_3:
R_2 = (0,3,-2,1)+(-2)(0,0,1,-2)=(0,3,0,-3).
Então R_2 \leftarrow \tfrac{1}{3}R_2=(0,1,0,-1).
  1. Eliminar a entrada da coluna 2 em R_1: R_1 \leftarrow R_1 - R_2:
R_1 = (1,1,-2,-1)-(0,1,0,-1)=(1,0,-2,0).
  1. Eliminar a coluna 3 em R_1 usando R_3: R_1 \leftarrow R_1 + 2R_3:
R_1 = (1,0,-2,0)+2(0,0,1,-2)=(1,0,0,-4).
Ao final obtemos a forma escalonada
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -4\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -2 \end{pmatrix},
confirmando que há exatamente três pivôs (nas colunas 1,2,3).]

Passo 7

Conclusão e interpretação didática:
  • O número de pivôs (colunas com pivôs) é o posto (rank) da matriz A.
  • Encontramos \operatorname{rank}(A)=3.
  • Portanto \dim(\operatorname{Im}T)=3.
  • Observação extra útil para prova: como o codomínio é \mathbb{R}^3, ter posto 3 significa que \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^3 (a transformação é sobrejetora).

Resposta

(D)\\\ 3

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