A pergunta é: qual é a dimensão da imagem de T? (Ou seja, qual é \dim(\operatorname{Im}T)?)
As informações relevantes que o enunciado dá são os coeficientes das combinações lineares que formam as três componentes da imagem de T.
Passo 2
Entendendo o que é pedido (em linguagem prática e direta):
A imagem de T é o conjunto de todos os vetores em \mathbb{R}^3 que podem ser escritos como T(x) para algum x\in\mathbb{R}^4.
A dimensão da imagem (também chamada de posto ou rank) é o número de vetores linearmente independentes que geram essa imagem.
Um procedimento simples para calcular isso quando a transformação é dada por fórmulas lineares é escrever a matriz associada a T na base padrão e calcular o posto (rank) dessa matriz.
Passo 3
Escrevendo a matriz associada a T na base canônica: cada coluna é a imagem de um vetor da base padrão de \mathbb{R}^4. A partir das expressões dadas, a matriz A (de tamanho 3\times4) é
Perceba que já temos três linhas não nulas e um pivô (primeiro não zero) em cada uma das três primeiras linhas: coluna 1, coluna 2 e coluna 3 respectivamente — portanto, já vemos três pivôs.]
Passo 6
Podemos tornar a forma ainda mais clara (opcional, para confirmar independência):
R_2 \leftarrow \tfrac{1}{3}R_2 = (0,1,0,-1) depois de usar R_3 para zerar a terceira entrada de R_2:
Primeiro R_2 \leftarrow R_2 + (-2)R_3:
R_2 = (0,3,-2,1)+(-2)(0,0,1,-2)=(0,3,0,-3).
Então R_2 \leftarrow \tfrac{1}{3}R_2=(0,1,0,-1).
Eliminar a entrada da coluna 2 em R_1: R_1 \leftarrow R_1 - R_2:
R_1 = (1,1,-2,-1)-(0,1,0,-1)=(1,0,-2,0).
Eliminar a coluna 3 em R_1 usando R_3: R_1 \leftarrow R_1 + 2R_3:
confirmando que há exatamente três pivôs (nas colunas 1,2,3).]
Passo 7
Conclusão e interpretação didática:
O número de pivôs (colunas com pivôs) é o posto (rank) da matriz A.
Encontramos \operatorname{rank}(A)=3.
Portanto \dim(\operatorname{Im}T)=3.
Observação extra útil para prova: como o codomínio é \mathbb{R}^3, ter posto 3 significa que \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^3 (a transformação é sobrejetora).