Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (-x+2 y+z,-x+3 y+3 z,-x-4 z).
Determine B a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{22} vale:
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
(E) 3
(F) 4
(G) 5
(H) 6
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(-x+2y+z,\;-x+3y+3z,\;-x-4z).
Pede-se: a matriz B que representa a inversa de T (ou seja, B=A^{-1} onde A representa T) e, especificamente, o valor da entrada b_{22} (segunda linha, segunda coluna) dessa matriz inversa.
Informações relevantes dadas: a fórmula de T (os coeficientes das combinações lineares dos componentes).
Passo 2
Primeiro passo prático: construir a matriz A que representa T na base canônica. Lembrando que as colunas de A são T(e_1),T(e_2),T(e_3), onde e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1).
O que significa achar a inversa? Queremos B=A^{-1} tal que
A B = I_3.
Método escolhido: eliminação de Gauss (efetuar operações elementares na matriz aumentada [A\mid I]) para obter [I\mid A^{-1}]. Escolhi esse método porque é direto, sistemático e adequado para calcular todas as entradas da inversa sem memorizar fórmulas de adjunta/determinante.
A entrada b_{22} (segunda linha, segunda coluna) de A^{-1} é o número na posição (2,2), que é \;5. Entre as alternativas fornecidas, isso corresponde à letra (G).