Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (-x+2 y+z,-x+3 y+3 z,-x-4 z).
Determine B a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{22} vale:
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
(E) 3
(F) 4
(G) 5
(H) 6

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(-x+2y+z,\;-x+3y+3z,\;-x-4z).
Pede-se: a matriz B que representa a inversa de T (ou seja, B=A^{-1} onde A representa T) e, especificamente, o valor da entrada b_{22} (segunda linha, segunda coluna) dessa matriz inversa.
Informações relevantes dadas: a fórmula de T (os coeficientes das combinações lineares dos componentes).

Passo 2

Primeiro passo prático: construir a matriz A que representa T na base canônica. Lembrando que as colunas de A são T(e_1),T(e_2),T(e_3), onde e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1).
Calculemos:
T(1,0,0)=(-1,-1,-1),
T(0,1,0)=(2,3,0),
T(0,0,1)=(1,3,-4).
Portanto, a matriz A é
A=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 1\\[4pt] -1 & 3 & 3\\[4pt] -1 & 0 & -4 \end{pmatrix}.]

Passo 3

O que significa achar a inversa? Queremos B=A^{-1} tal que
A B = I_3.
Método escolhido: eliminação de Gauss (efetuar operações elementares na matriz aumentada [A\mid I]) para obter [I\mid A^{-1}]. Escolhi esse método porque é direto, sistemático e adequado para calcular todas as entradas da inversa sem memorizar fórmulas de adjunta/determinante.

Passo 4

Monte a matriz aumentada inicial [A\mid I]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] -1 & 3 & 3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 0 & -4 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Para facilitar, primeiro faço R_1 := -R_1 (multiplicar a primeira linha por -1) para obter um pivô 1 na posição (1,1):
R_1 := -R_1 \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & -1 & -1 & 0 & 0\\[4pt] -1 & 3 & 3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 0 & -4 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Eliminação da coluna 1 nas linhas 2 e 3 usando R_1.
Faço R_2 := R_2 + R_1:
R_2 = (-1,3,3)+(1,-2,-1)=(0,1,2),
direita: (0,1,0)+(-1,0,0)=(-1,1,0).
Faço R_3 := R_3 + R_1:
R_3 = (-1,0,-4)+(1,-2,-1)=(0,-2,-5),
direita: (0,0,1)+(-1,0,0)=(-1,0,1).
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & -1 & -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -2 & -5 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora uso R_2 (já com pivô 1 na coluna 2) para zerar as outras entradas dessa coluna.
Faço R_1 := R_1 + 2R_2:
  • esquerda: (1,-2,-1)+2(0,1,2)=(1,0,3).
  • direita: (-1,0,0)+2(-1,1,0)=(-1-2,\;0+2,\;0+0)=(-3,2,0).
Faço R_3 := R_3 + 2R_2:
  • esquerda: (0,-2,-5)+2(0,1,2)=(0,0,-1).
  • direita: (-1,0,1)+2(-1,1,0)=(-1-2,\;0+2,\;1+0)=(-3,2,1).
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 3 & -3 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -3 & 2 & 1 \end{array}\right].]

Passo 7

Normalize a terceira linha para obter pivô 1 em (3,3): faço R_3 := -R_3.
R_3 = (0,0,1)\quad\text{e}\quad\text{direita }(3,-2,-1).
Agora elimino as entradas acima na coluna 3:
Faço R_1 := R_1 - 3R_3:
  • esquerda: (1,0,3)-3(0,0,1)=(1,0,0).
  • direita: (-3,2,0)-3(3,-2,-1)=(-3-9,\;2+6,\;0+3)=(-12,8,3).
Faço R_2 := R_2 - 2R_3:
  • esquerda: (0,1,2)-2(0,0,1)=(0,1,0).
  • direita: (-1,1,0)-2(3,-2,-1)=(-1-6,\;1+4,\;0+2)=(-7,5,2).
Agora a matriz aumentada está:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -12 & 8 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -7 & 5 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 3 & -2 & -1 \end{array}\right].]

Passo 8

A parte esquerda é agora I_3, logo a parte direita é A^{-1}. Portanto
A^{-1}=\begin{pmatrix} -12 & 8 & 3\\[4pt] -7 & 5 & 2\\[4pt] 3 & -2 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 9

A entrada b_{22} (segunda linha, segunda coluna) de A^{-1} é o número na posição (2,2), que é \;5. Entre as alternativas fornecidas, isso corresponde à letra (G).

Resposta

(G) 5

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