Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(2,-5) e \vec{v}=(2,-7). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}=(1,1) e [\vec{v}]_{\beta}=(3,-1), então \vec{b}_{2} é:
(A) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -5\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -4\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -3\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -2\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -1\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 0\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{c}* \\\\ 1\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede para encontrar \vec{b}_{2}:
\beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\}
\vec{u}=(2,-5)
\vec{v}=(2,-7)
As coordenadas desses vetores na base \beta são
[\vec{u}]_{\beta}=(1,1)
[\vec{v}]_{\beta}=(3,-1)
Pergunta: qual é \vec{b}_{2}? (as opções só mostram o segundo componente varieando; precisamos identificar esse componente e, se possível, a resposta completa)
Passo 2
O que significam as coordenadas na base \beta:
Quando dizemos que [\vec{u}]_{\beta}=(1,1), isso significa que \vec{u} é a combinação linear
\vec{u}=1\cdot\vec{b}_{1}+1\cdot\vec{b}_{2}.
De forma análoga, [\vec{v}]_{\beta}=(3,-1) significa
\vec{v}=3\cdot\vec{b}_{1}+(-1)\cdot\vec{b}_{2}.
Vou escrever \vec{b}_{1} e \vec{b}_{2} em componentes para resolver:
Traduzindo as igualdades para componentes (somando coordenadas correspondentes), das expressões de \vec{u} e \vec{v} obtemos os vetores igualitários:
da primeira,
\vec{b}_{1}+\vec{b}_{2}=\vec{u}=(2,-5),
da segunda,
3\vec{b}_{1}-\vec{b}_{2}=\vec{v}=(2,-7).
Essas são equações vetoriais que equivalem a sistemas nas componentes.
Passo 4
Vou eliminar \vec{b}_{2} somando as duas equações vetoriais (isso elimina \vec{b}_{2} porque +\vec{b}_{2} e -\vec{b}_{2} somam zero):