Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(2,-5) e \vec{v}=(2,-7). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}=(1,1) e [\vec{v}]_{\beta}=(3,-1), então \vec{b}_{2} é:
(A) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -5\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -4\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -3\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -2\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -1\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 0\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{c}* \\\\ 1\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede para encontrar \vec{b}_{2}:
\beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\}
\vec{u}=(2,-5)
\vec{v}=(2,-7)
As coordenadas desses vetores na base \beta são
[\vec{u}]_{\beta}=(1,1)
[\vec{v}]_{\beta}=(3,-1)
Pergunta: qual é \vec{b}_{2}? (as opções só mostram o segundo componente varieando; precisamos identificar esse componente e, se possível, a resposta completa)

Passo 2

O que significam as coordenadas na base \beta:
Quando dizemos que [\vec{u}]_{\beta}=(1,1), isso significa que \vec{u} é a combinação linear
\vec{u}=1\cdot\vec{b}_{1}+1\cdot\vec{b}_{2}.
De forma análoga, [\vec{v}]_{\beta}=(3,-1) significa
\vec{v}=3\cdot\vec{b}_{1}+(-1)\cdot\vec{b}_{2}.
Vou escrever \vec{b}_{1} e \vec{b}_{2} em componentes para resolver:
\vec{b}_{1}=(x_{1},y_{1}),\qquad \vec{b}_{2}=(x_{2},y_{2}).

Passo 3

Traduzindo as igualdades para componentes (somando coordenadas correspondentes), das expressões de \vec{u} e \vec{v} obtemos os vetores igualitários:
da primeira,
\vec{b}_{1}+\vec{b}_{2}=\vec{u}=(2,-5),
da segunda,
3\vec{b}_{1}-\vec{b}_{2}=\vec{v}=(2,-7).
Essas são equações vetoriais que equivalem a sistemas nas componentes.

Passo 4

Vou eliminar \vec{b}_{2} somando as duas equações vetoriais (isso elimina \vec{b}_{2} porque +\vec{b}_{2} e -\vec{b}_{2} somam zero):
(\vec{b}_{1}+\vec{b}_{2})+(3\vec{b}_{1}-\vec{b}_{2})= (2,-5)+(2,-7).
No lado esquerdo \vec{b}_{2} cancela e \vec{b}_{1}+3\vec{b}_{1}=4\vec{b}_{1}. No direito somamos componente a componente:
4\vec{b}_{1}=(4,-12).

Passo 5

Agora isolamos \vec{b}_{1} dividindo por 4 (dividir um vetor por um escalar significa dividir cada componente):
\vec{b}_{1}=\frac{1}{4}(4,-12)=(1,-3).
Expliquei: \frac{1}{4}\cdot 4=1 e \frac{1}{4}\cdot(-12)=-3.

Passo 6

Com \vec{b}_{1} encontrado, voltamos à equação \vec{b}_{1}+\vec{b}_{2}=\vec{u}=(2,-5) e isolamos \vec{b}_{2}:
\vec{b}_{2}=\vec{u}-\vec{b}_{1}=(2,-5)-(1,-3).
Subtraindo componente a componente:
\vec{b}_{2}=(2-1,\;-5-(-3))=(1,-2).

Passo 7

Conferindo: com \vec{b}_{1}=(1,-3) e \vec{b}_{2}=(1,-2) as coordenadas dadas realmente se obtêm:
teste rápido:
1\cdot\vec{b}_{1}+1\cdot\vec{b}_{2}=(1,-3)+(1,-2)=(2,-5)=\vec{u},
3\cdot\vec{b}_{1}-1\cdot\vec{b}_{2}=3(1,-3)-(1,-2)=(3,-9)-(1,-2)=(2,-7)=\vec{v}.
Está consistente.

Resposta

(D) \begin{pmatrix}1 \\\\ -2\end{pmatrix}

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