é possivel encontrar a tranformação G tal que [F \circ G]=[I] (matriz identidade)
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
F(x,y,z)=(x-3y,\;3x-z,\;5x-6y-z).
A pergunta é: existe uma transformação linear G:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 tal que a composição F\circ G corresponde à matriz identidade, ou seja, tal que [F\circ G]=[I]?
Informações relevantes dadas:
A regra explícita de F que permite escrever a matriz associada à transformação linear no sistema de coordenadas canônico.
O que se pede é a existência (ou não) de uma G cuja matriz B satisfaça A B = I, onde A é a matriz de F.
Passo 2
Escrever a matriz A de F na base canônica. Para F(x,y,z) lemos as combinações lineares das coordenadas e montamos as colunas pela imagem dos vetores canônicos:
Explicação curta: a primeira coluna é F(1,0,0)=(1,3,5), a segunda é F(0,1,0)=(-3,0,-6) e a terceira é F(0,0,1)=(0,-1,-1).]
Passo 3
Interpretar a condição [F\circ G]=[I] em termos de matrizes. Se B é a matriz de G (na base canônica), então a matriz da composição é A B. Logo a condição pedida é
A B = I.
Isto significa que B seria um inverso à direita de A. Para matrizes quadradas, a existência de tal B é equivalente à invertibilidade de A (se existe um inverso à direita, então a matriz é invertível e o inverso é único).
Passo 4
Testar invertibilidade de A calculando o determinante. Regra usada: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante é diferente de zero. Calculamos \det(A) por expansão na primeira linha:
Conclusão a partir do determinante: como \det(A)=0, a matriz A não é invertível. Um argumento curto e rigoroso que explica por que isso impede a existência de B é:
se existisse B tal que A B = I, então tomando determinantes teríamos \det(A)\det(B)=\det(I)=1, o que forçaria \det(A)\neq0. Contradição. Portanto não existe B com A B = I.
Passo 7
Apresentar também uma verificação alternativa (mais geométrica): as colunas de A são
logo as colunas são linearmente dependentes e o posto de A é menor que 3. Isso significa que a transformação F não é sobrejetora, portanto não pode existir G com F\circ G=\mathrm{id} (pois tal G exigiria que F atingisse todo \mathbb{R}^3). Esta é uma outra maneira de ver que tal G não existe.]
Passo 8
Resumo final e motivação: para ter [F\circ G]=[I] precisamos que a matriz de F seja invertível; calculamos \det(A)=0 e mostramos dependência linear entre as colunas, então A não é invertível e não existe transformação linear G satisfazendo a condição.
Resposta
Não — não existe transformação linear G tal que [F\circ G]=[I].