Seja a transformação dada por
F(x, y, z)=(x-3 y, 3 x-z, 5 x-6 y-z)
é possivel encontrar a tranformação G tal que [F \circ G]=[I] (matriz identidade)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
F(x,y,z)=(x-3y,\;3x-z,\;5x-6y-z).
A pergunta é: existe uma transformação linear G:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 tal que a composição F\circ G corresponde à matriz identidade, ou seja, tal que [F\circ G]=[I]?
Informações relevantes dadas:
  • A regra explícita de F que permite escrever a matriz associada à transformação linear no sistema de coordenadas canônico.
  • O que se pede é a existência (ou não) de uma G cuja matriz B satisfaça A B = I, onde A é a matriz de F.

Passo 2

Escrever a matriz A de F na base canônica. Para F(x,y,z) lemos as combinações lineares das coordenadas e montamos as colunas pela imagem dos vetores canônicos:
A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 0\\[4pt] 3 & 0 & -1\\[4pt] 5 & -6 & -1 \end{pmatrix}.
Explicação curta: a primeira coluna é F(1,0,0)=(1,3,5), a segunda é F(0,1,0)=(-3,0,-6) e a terceira é F(0,0,1)=(0,-1,-1).]

Passo 3

Interpretar a condição [F\circ G]=[I] em termos de matrizes. Se B é a matriz de G (na base canônica), então a matriz da composição é A B. Logo a condição pedida é
A B = I.
Isto significa que B seria um inverso à direita de A. Para matrizes quadradas, a existência de tal B é equivalente à invertibilidade de A (se existe um inverso à direita, então a matriz é invertível e o inverso é único).

Passo 4

Testar invertibilidade de A calculando o determinante. Regra usada: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante é diferente de zero. Calculamos \det(A) por expansão na primeira linha:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -1\\[2pt]-6 & -1\end{pmatrix} -(-3)\cdot\det\begin{pmatrix}3 & -1\\[2pt]5 & -1\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).]

Passo 5

Calcular explicitamente os determinantes 2\times2:
\det\begin{pmatrix}0 & -1\\[2pt]-6 & -1\end{pmatrix} =0\cdot(-1)-(-1)\cdot(-6)=0-6=-6,
\det\begin{pmatrix}3 & -1\\[2pt]5 & -1\end{pmatrix} =3\cdot(-1)-(-1)\cdot5=-3-(-5)=-3+5=2.
Substituindo em \det(A):
\det(A)=1\cdot(-6)-(-3)\cdot 2 = -6 + 6 = 0.]

Passo 6

Conclusão a partir do determinante: como \det(A)=0, a matriz A não é invertível. Um argumento curto e rigoroso que explica por que isso impede a existência de B é:
se existisse B tal que A B = I, então tomando determinantes teríamos \det(A)\det(B)=\det(I)=1, o que forçaria \det(A)\neq0. Contradição. Portanto não existe B com A B = I.

Passo 7

Apresentar também uma verificação alternativa (mais geométrica): as colunas de A são
c_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]3\\[2pt]5\end{pmatrix},\qquad c_2=\begin{pmatrix}-3\\[2pt]0\\[2pt]-6\end{pmatrix},\qquad c_3=\begin{pmatrix}0\\[2pt]-1\\[2pt]-1\end{pmatrix}.
Pode-se verificar a dependência linear
3c_1 + 1\cdot c_2 + 9c_3 = \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix},
logo as colunas são linearmente dependentes e o posto de A é menor que 3. Isso significa que a transformação F não é sobrejetora, portanto não pode existir G com F\circ G=\mathrm{id} (pois tal G exigiria que F atingisse todo \mathbb{R}^3). Esta é uma outra maneira de ver que tal G não existe.]

Passo 8

Resumo final e motivação: para ter [F\circ G]=[I] precisamos que a matriz de F seja invertível; calculamos \det(A)=0 e mostramos dependência linear entre as colunas, então A não é invertível e não existe transformação linear G satisfazendo a condição.

Resposta

Não — não existe transformação linear G tal que [F\circ G]=[I].

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