Seja as trasformações lineares
\begin{gathered} F(x, y)=(3 x-y, x+2 y) \\\ G(x, y)=(x+y, 0) \end{gathered}
Determinar G \circ F, F \circ G e [G \circ G].

Passo 1

O enunciado fornece duas transformações lineares de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^2:
F(x,y)=(3x-y,\;x+2y)
G(x,y)=(x+y,\;0)
O que se pede:
  • Determinar G\circ F (ou seja, a transformação que aplica F e em seguida G);
  • Determinar F\circ G (aplicar G e em seguida F);
  • Determinar [G\circ G] (isto é, compor G consigo mesma).
Informações dadas importantes:
  • As fórmulas explícitas de F e G (peguei estas fórmulas do enunciado).
  • Cada transformação toma um par (x,y) e devolve um par em \mathbb{R}^2.

Passo 2

O que significa compor transformações lineares (aula rápida e prática):
  • Se H_1,H_2 são transformações de \mathbb{R}^2, então (H_2\circ H_1)(x,y)=H_2\big(H_1(x,y)\big).
  • Procedimento prático: primeiro calcular H_1(x,y) obtendo um par (u,v), depois substituir (u,v) em H_2(u,v) e simplificar.
    Vou usar esse método de substituição porque aqui as fórmulas de F e G são dadas coordenada a coordenada, então a substituição é direta e rápida (outra forma seria usar matrizes e multiplicação de matrizes; farei uma verificação por matriz mais adiante).

Passo 3

Calcular G\circ F passo a passo:
  1. Primeiro, apliquei F a (x,y). Chamo as coordenadas de saída de F de (u,v). Assim,
u=3x-y,\qquad v=x+2y.
  1. Agora aplico G ao par (u,v). Pela definição de G,
G(u,v)=(u+v,\;0).
  1. Substituo u e v por suas expressões em x,y:
u+v=(3x-y)+(x+2y).
  1. Simplifico soma de termos semelhantes:
(3x-y)+(x+2y)=3x + x + (-y+2y)=4x + y.
Portanto,
G\circ F(x,y)=(4x+y,\;0).

Passo 4

Calcular F\circ G passo a passo:
  1. Primeiro aplico G a (x,y). Seja (u,v)=G(x,y). Então
u=x+y,\qquad v=0
(tirado diretamente da fórmula de G).
2) Agora aplico F a (u,v). Pela definição de F,
F(u,v)=(3u-v,\;u+2v).
  1. Substituo u e v:
3u-v=3(x+y)-0=3x+3y,
u+2v=(x+y)+2\cdot 0 = x+y.
Portanto,
F\circ G(x,y)=(3x+3y,\;x+y).

Passo 5

Calcular G\circ G (compor G consigo mesma):
  1. Aplique G uma vez: G(x,y)=(x+y,0). Chame isso (u,v) com u=x+y,\;v=0.
  2. Aplique G novamente a (u,v):
G(u,v)=(u+v,\;0)=(x+y+0,\;0)=(x+y,\;0).
Observação: o resultado é exatamente G(x,y). Em notação curta,
G\circ G = G.
Isto significa que G é idempotente (ou seja, aplicar G duas vezes é o mesmo que aplicar uma vez).

Passo 6

Verificação via matrizes (opcional, mas útil para consolidar a ideia):
  • A matriz que representa F na base canônica é
A=\begin{pmatrix}3 & -1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix},
porque F(x,y)=A\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}.
  • A matriz que representa G é
B=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
pois G(x,y)=B\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}.
  • Produto de matrizes para composições:
B A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 & -1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
que corresponde a (4x+y,0), conferindo G\circ F.
A B = \begin{pmatrix}3 & -1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 3 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},
que corresponde a (3x+3y,\;x+y), conferindo F\circ G.
B B = B,
confirmando G\circ G=G.]

Resposta

G\circ F(x,y)=(4x+y,\;0)
F\circ G(x,y)=(3x+3y,\;x+y)
[G\circ G](x,y)=G(x,y)=(x+y,\;0)

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