Seja as trasformações lineares
Determinar
e
.
Passo 1
O enunciado fornece duas transformações lineares de
em
:
O que se pede:
- Determinar
(ou seja, a transformação que aplica e em seguida ); - Determinar
(aplicar e em seguida ); - Determinar
(isto é, compor consigo mesma).
Informações dadas importantes:
- As fórmulas explícitas de
e (peguei estas fórmulas do enunciado). - Cada transformação toma um par
e devolve um par em .
Passo 2
O que significa compor transformações lineares (aula rápida e prática):
- Se
são transformações de , então . - Procedimento prático: primeiro calcular
obtendo um par , depois substituir em e simplificar.
Vou usar esse método de substituição porque aqui as fórmulas dee são dadas coordenada a coordenada, então a substituição é direta e rápida (outra forma seria usar matrizes e multiplicação de matrizes; farei uma verificação por matriz mais adiante).
Passo 3
Calcular
passo a passo:
- Primeiro, apliquei
a . Chamo as coordenadas de saída de de . Assim,
- Agora aplico
ao par . Pela definição de ,
- Substituo
e por suas expressões em :
- Simplifico soma de termos semelhantes:
Portanto,
Passo 4
Calcular
passo a passo:
- Primeiro aplico
a . Seja . Então
(tirado diretamente da fórmula de
).
2) Agora aplico a
. Pela definição de
,
2) Agora aplico
- Substituo
e :
Portanto,
Passo 5
Calcular
(compor
consigo mesma):
- Aplique
uma vez: . Chame isso com . - Aplique
novamente a :
Observação: o resultado é exatamente
. Em notação curta,
Isto significa que
é idempotente (ou seja, aplicar
duas vezes é o mesmo que aplicar uma vez).
Passo 6
Verificação via matrizes (opcional, mas útil para consolidar a ideia):
- A matriz que representa
na base canônica é
porque
.
- A matriz que representa
é
pois
.
- Produto de matrizes para composições:
que corresponde a
, conferindo
.
que corresponde a
, conferindo
.
confirmando
.]