Produto de um vetor por escalar (Atividade de revisão q2):
Para o vetor
, determine
e
e interprete geometricamente.
Para o vetor
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e pede duas coisas:
- Determinar o produto escalar
. - Determinar o produto escalar
.
Além disso, pede interpretar geometricamente esses resultados (o que acontece com direção e comprimento do vetor).
Passo 2
Definição e ideia prática (sem complicar): multiplicar um vetor por um escalar significa multiplicar cada componente do vetor por esse escalar. Se
e
é um número real (escalar), então
Aqui
e
são as componentes do vetor
(no nosso caso
e
), e
é o escalar que usamos (por exemplo
ou
). Geometricamente, multiplicar por
altera o comprimento do vetor por um fator
e:
- se
, a direção (sentido) do vetor permanece a mesma; - se
, o vetor inverte de sentido (vira o oposto).
Passo 3
Calcular
aplicando a regra componente a componente:
Agora faço as multiplicações:
Portanto
Passo 4
Calcular
do mesmo jeito:
Fazendo as multiplicações:
Logo
Passo 5
Interpretação geométrica — comprimentos e direção:
- Primeiro calculemos o comprimento (norma) de
. A norma de um vetor é . Então
- Para
, pela propriedade da norma , temos
Ou seja,
tem comprimento 3 vezes o de
. Como
, a direção (sentido) de
é a mesma de
. No plano, o ponto final de
é
e o de
é
, que está na mesma reta que passa pela origem e
, só mais longe (3 vezes).
- Para
,
Ou seja,
tem metade do comprimento de
. Como
, também mantém a mesma direção (mesmo sentido). O ponto final
está na mesma reta radial a partir da origem, só mais próximo (metade da distância).
Passo 6
Resumo intuitivo e dica para prova: para multiplicações escalares sempre faça componente a componente. Geometricamente pense em “esticamento” (se o escalar > 1), “encolhimento” (se
) ou “inversão de sentido” (se o escalar < 0). Calcule a norma se precisar quantificar exatamente o fator de alongamento/encolhimento.