Produto de um vetor por escalar (Atividade de revisão q2):
Para o vetor w=(4,-2), determine 3 w e 1 / 2 w e interprete geometricamente.

Passo 1

O enunciado dá o vetor \,w=(4,-2)\, e pede duas coisas:
  • Determinar o produto escalar \,3w.
  • Determinar o produto escalar \tfrac{1}{2}w.
    Além disso, pede interpretar geometricamente esses resultados (o que acontece com direção e comprimento do vetor).

Passo 2

Definição e ideia prática (sem complicar): multiplicar um vetor por um escalar significa multiplicar cada componente do vetor por esse escalar. Se w=(w_1,w_2) e a é um número real (escalar), então
a w = (a w_1,\, a w_2).
Aqui w_1 e w_2 são as componentes do vetor w (no nosso caso w_1=4 e w_2=-2), e a é o escalar que usamos (por exemplo a=3 ou a=\tfrac{1}{2}). Geometricamente, multiplicar por a altera o comprimento do vetor por um fator |a| e:
  • se a>0, a direção (sentido) do vetor permanece a mesma;
  • se a<0, o vetor inverte de sentido (vira o oposto).

Passo 3

Calcular \,3w aplicando a regra componente a componente:
3w = 3\cdot(4,-2) = (3\cdot4,\;3\cdot(-2)).
Agora faço as multiplicações:
3\cdot4 = 12,\qquad 3\cdot(-2) = -6.
Portanto
3w = (12,-6).

Passo 4

Calcular \tfrac{1}{2}w do mesmo jeito:
\tfrac{1}{2}w = \tfrac{1}{2}\cdot(4,-2) = \bigl(\tfrac{1}{2}\cdot4,\;\tfrac{1}{2}\cdot(-2)\bigr).
Fazendo as multiplicações:
\tfrac{1}{2}\cdot4 = 2,\qquad \tfrac{1}{2}\cdot(-2) = -1.
Logo
\tfrac{1}{2}w = (2,-1).

Passo 5

Interpretação geométrica — comprimentos e direção:
  • Primeiro calculemos o comprimento (norma) de w. A norma de um vetor (x,y) é \sqrt{x^2+y^2}. Então
\|w\| = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.
  • Para 3w, pela propriedade da norma \|a w\| = |a|\:\|w\|, temos
\|3w\| = 3\|w\| = 3\cdot 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}.
Ou seja, 3w tem comprimento 3 vezes o de w. Como 3>0, a direção (sentido) de 3w é a mesma de w. No plano, o ponto final de w é (4,-2) e o de 3w é (12,-6), que está na mesma reta que passa pela origem e (4,-2), só mais longe (3 vezes).
  • Para \tfrac{1}{2}w,
\|\tfrac{1}{2}w\| = \tfrac{1}{2}\|w\| = \tfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{5} = \sqrt{5}.
Ou seja, \tfrac{1}{2}w tem metade do comprimento de w. Como \tfrac{1}{2}>0, também mantém a mesma direção (mesmo sentido). O ponto final (2,-1) está na mesma reta radial a partir da origem, só mais próximo (metade da distância).

Passo 6

Resumo intuitivo e dica para prova: para multiplicações escalares sempre faça componente a componente. Geometricamente pense em “esticamento” (se o escalar > 1), “encolhimento” (se 0<a<1) ou “inversão de sentido” (se o escalar < 0). Calcule a norma se precisar quantificar exatamente o fator de alongamento/encolhimento.

Resposta

3w = (12,-6)
\tfrac{1}{2}w = (2,-1)

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