Seja a transformação linear dada pela projeção ortogonal em R^3 sobre o plano Y Z.
a) Determine T(x, y, z).
b) Determine o núcleo da transformação.
c) Usando Teorema da dimensão, calcule a dimensão da imagem.
(2.5p.)

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal em R^3 sobre o plano YZ. Vamos usar que esse plano é dado por x=0 e que a projeção ortogonal de um vetor v sobre um subespaço W vale
projW(v)=v-projW^perp(v)
Aqui W^perp é a reta normal ao plano YZ, gerada por (1,0,0). Com isso podemos achar T(x,y,z), depois o núcleo e, por fim, usar o Teorema da Dimensão.

Passo 2

Para qualquer (x,y,z)inR^3 tomamos n=(1,0,0). A projeção de v=(x,y,z) sobre n é
projn(v)=vcdot nncdot n,n =x1,(1,0,0)=(x,0,0)
Logo a projeção ortogonal de v sobre o plano YZ é
T(x,y,z)=v-projn(v)=(x,y,z)-(x,0,0)=(0,y,z)

Passo 3

O núcleo é
ker(T)=(x,y,z)mid T(x,y,z)=(0,0,0)
Como T(x,y,z)=(0,y,z), isso exige y=0 e z=0, com x livre. Assim
ker(T)=(x,0,0)mid xinR =span(1,0,0)

Passo 4

Pelo Teorema da Dimensão (rank–nullity) temos
dim(R^3)=diml(ker(T)r)+diml(Im(T)r)
Sabendo que dim(ker(T))=1, segue
3=1+diml(Im(T)r) Longrightarrow diml(Im(T)r)=2

Resposta

a) T(x,y,z)=(0,y,z).
b) ker(T)=(x,0,0)mid xinR=span(1,0,0)
c) dim(Im(T))=2

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