Seja a transformação linear dada pela projeção ortogonal em
sobre o plano
.
a) Determine
.
b) Determine o núcleo da transformação.
c) Usando Teorema da dimensão, calcule a dimensão da imagem.
(2.5p.)
a) Determine
b) Determine o núcleo da transformação.
c) Usando Teorema da dimensão, calcule a dimensão da imagem.
(2.5p.)
Passo 1
O enunciado pede a projeção ortogonal em
sobre o plano
. Vamos usar que esse plano é dado por
e que a projeção ortogonal de um vetor
sobre um subespaço
vale
Aqui
é a reta normal ao plano
, gerada por
. Com isso podemos achar
, depois o núcleo e, por fim, usar o Teorema da Dimensão.
Passo 2
Para qualquer
tomamos
. A projeção de
sobre
é
Logo a projeção ortogonal de
sobre o plano
é
Passo 3
O núcleo é
Como
, isso exige
e
, com
livre. Assim
Passo 4
Pelo Teorema da Dimensão (rank–nullity) temos
Sabendo que
, segue
Resposta
a)
.
b)
c)
b)
c)