Seja , o espaço vetorial das matrizes de ordem 2 sobre o campo dos reais, e os subespaços e S2=[lla & 0 c & 0] in M2 / a, c in R. Verifique se M2=S1 oplus S2. (2.5p)
Passo 1
O enunciado define e os subespaços
Queremos verificar se
ou seja, se todo pode ser escrito de modo único como com e . Pela teoria, isso equivale a mostrar simultaneamente que
.
.
Passo 2
Calcular a interseção . Seja
Então
para certos . Igualando as entradas obtemos
Logo
que não é apenas o zero; é o subespaço de dimensão 1 gerado por .
Passo 3
Determinar a soma . Qualquer soma de e
é
Repare que na posição a entrada é sempre zero, logo
é um subespaço de dimensão 3, diferente de todo (dimensão 4). Em particular, por exemplo .
Passo 4
Concluímos que
S1cap S2neq0.
S1+S2neq V.
Logo não se satisfaz nem a condição de interseção trivial nem a de soma igual a V.