Multiplico A_S por A_T para verificar que o resultado é A_{S\circ T}.
Lembrete didático rápido: o produto A_S A_T é bem definido porque A_S é 4\times 3 e A_T é 3\times 2; o resultado será uma matriz 4\times 2. Cada coluna de A_S A_T é A_S multiplicada pela coluna correspondente de A_T, isto é, uma combinação linear das colunas de A_S com coeficientes dados pela coluna de A_T.
Calculo coluna a coluna:
Primeira coluna de A_T é \begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}. Então
que coincide com A_{S\circ T} calculada no Passo 7.]
Passo 10
Resumo do porquê isso sempre acontece (breve aula): se T:\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}^q e S:\mathbb{R}^q\to\mathbb{R}^r são lineares, então a matriz canônica de T tem colunas T(\mathbf{e}_j) e a de S tem colunas S(\mathbf{f}_i). A composição S\circ T aplicada ao vetor canônico da origem do domínio corresponde a multiplicar A_S por a coluna de A_T. Isso implica que a matriz de S\circ T é A_S A_T. No exame: você pode fazer a composição por substituição (como no Passo 4) ou montar as matrizes e multiplicá-las — chega-se ao mesmo resultado.