Seja a transformação linear S: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, \quad S(x, y, z)=(x+y, z,-x-y, y+z)
a) Calcular (S \circ T)(x, y) se
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad T(x, y)=(2 x+y, x-y, x-3 y)
b) Encontrar a matriz canônica de S \circ T e mostrar que ela é o produto da matriz canônica de S pela matriz canônica de T.

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares e pede duas coisas:
  • Calcular a composição (S\circ T)(x,y) onde
S: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{4},\qquad S(x,y,z)=(x+y,\;z,\;-x-y,\;y+z)
e
T: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3},\qquad T(x,y)=(2x+y,\;x-y,\;x-3y).
  • Encontrar a matriz canônica de S\circ T e mostrar que ela é o produto da matriz canônica de S pela matriz canônica de T.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • As fórmulas explícitas de S e T (acima).
  • O domínio de T é \mathbb{R}^2 e o contradomínio de S é \mathbb{R}^4, então (S\circ T) vai de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^4.
  • Precisamos dar a resposta em forma de função (parte a) e em forma de matriz canônica (parte b).

Passo 2

Primeiro escrevo explicitamente T(x,y) (já fornecido, só reescrevendo para facilitar substituição):
T(x,y)=(2x+y,\;x-y,\;x-3y).
Vou chamar as coordenadas de T(x,y) por (u,v,w) quando for conveniente:
u=2x+y,\qquad v=x-y,\qquad w=x-3y.

Passo 3

Agora aplico S ao vetor T(x,y)=(u,v,w). Lembre que, por definição,
S(u,v,w)=(u+v,\;w,\;-u-v,\;v+w).
Vou substituir u,v,w pelas expressões em x,y encontradas no Passo 2 e simplificar coordenada a coordenada.

Passo 4

Calculo coordenada a coordenada:
  1. Primeira coordenada: u+v. Substituindo,
u+v=(2x+y)+(x-y)=2x+y+x-y=3x.
  1. Segunda coordenada: w. Substituindo,
w=x-3y.
  1. Terceira coordenada: -u-v. Como -u-v=-(u+v), usando o valor de u+v acima,
-u-v=-3x.
  1. Quarta coordenada: v+w. Substituindo,
v+w=(x-y)+(x-3y)=x-y+x-3y=2x-4y.

Passo 5

Juntando as coordenadas obtidas, a composição fica
(S\circ T)(x,y)=\bigl(3x,\;x-3y,\;-3x,\;2x-4y\bigr).
Isso responde a parte (a) pedida explicitamente (temos a fórmula da função composta).

Passo 6

Agora vou encontrar a matriz canônica (matriz de representação na base canônica) de S\circ T. Há duas maneiras equivalentes:
  • (i) Obter diretamente as colunas calculando (S\circ T)(1,0) e (S\circ T)(0,1).
  • (ii) Obter as matrizes canônicas de S e de T separadamente e multiplicá-las.
Vou fazer ambas e comparar (isso já mostra que a matriz de S\circ T é o produto das matrizes).

Passo 7

Usando o resultado do Passo 5, calculo as imagens dos vetores canônicos de \mathbb{R}^2:
  1. Para (x,y)=(1,0):
(S\circ T)(1,0)=(3\cdot1,\;1-0,\;-3\cdot1,\;2\cdot1-4\cdot0)=(3,\;1,\;-3,\;2).
  1. Para (x,y)=(0,1):
(S\circ T)(0,1)=(3\cdot0,\;0-3,\;-3\cdot0,\;2\cdot0-4\cdot1)=(0,\;-3,\;0,\;-4).
Portanto a matriz canônica de S\circ T, que é a matriz 4\times 2 cujas colunas são essas imagens, é
A_{S\circ T}=\begin{pmatrix} 3 & 0\\[4pt] 1 & -3\\[4pt] -3 & 0\\[4pt] 2 & -4 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Agora obtenho as matrizes canônicas de S e de T separadamente (para então multiplicá-las).
Para S:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4, calculo S nas bases canônicas \mathbf{e}_1=(1,0,0), \mathbf{e}_2=(0,1,0), \mathbf{e}_3=(0,0,1):
  • S(1,0,0)=(1+0,\;0,\;-1-0,\;0+0)=(1,0,-1,0).
  • S(0,1,0)=(0+1,\;0,\;-(0+1),\;1+0)=(1,0,-1,1).
  • S(0,0,1)=(0+0,\;1,\;-(0+0),\;0+1)=(0,1,0,1).
Logo a matriz canônica de S (matriz 4\times 3) é
A_S=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] -1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix},
onde cada coluna é S(\mathbf{e}_1),S(\mathbf{e}_2),S(\mathbf{e}_3) nessa ordem.
Para T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3, calculo T nos vetores canônicos (1,0) e (0,1):
  • T(1,0)=(2\cdot1+0,\;1-0,\;1-0)=(2,1,1).
  • T(0,1)=(2\cdot0+1,\;0-1,\;0-3)=(1,-1,-3).
Assim a matriz canônica de T (matriz 3\times 2) é
A_T=\begin{pmatrix} 2 & 1\\[4pt] 1 & -1\\[4pt] 1 & -3 \end{pmatrix},
com colunas T(1,0) e T(0,1).]

Passo 9

Multiplico A_S por A_T para verificar que o resultado é A_{S\circ T}.
Lembrete didático rápido: o produto A_S A_T é bem definido porque A_S é 4\times 3 e A_T é 3\times 2; o resultado será uma matriz 4\times 2. Cada coluna de A_S A_T é A_S multiplicada pela coluna correspondente de A_T, isto é, uma combinação linear das colunas de A_S com coeficientes dados pela coluna de A_T.
Calculo coluna a coluna:
  • Primeira coluna de A_T é \begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}. Então
A_S\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix} =2\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]-1\\[2pt]0\end{pmatrix} +1\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]-1\\[2pt]1\end{pmatrix} +1\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\[2pt]1\\[2pt]-3\\[2pt]2\end{pmatrix}.
  • Segunda coluna de A_T é \begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\\[2pt]-3\end{pmatrix}. Então
A_S\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\\[2pt]-3\end{pmatrix} =1\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]-1\\[2pt]0\end{pmatrix} -1\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]-1\\[2pt]1\end{pmatrix} -3\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\[2pt]-3\\[2pt]0\\[2pt]-4\end{pmatrix}.
Portanto
A_S A_T=\begin{pmatrix} 3 & 0\\[4pt] 1 & -3\\[4pt] -3 & 0\\[4pt] 2 & -4 \end{pmatrix},
que coincide com A_{S\circ T} calculada no Passo 7.]

Passo 10

Resumo do porquê isso sempre acontece (breve aula): se T:\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}^q e S:\mathbb{R}^q\to\mathbb{R}^r são lineares, então a matriz canônica de T tem colunas T(\mathbf{e}_j) e a de S tem colunas S(\mathbf{f}_i). A composição S\circ T aplicada ao vetor canônico da origem do domínio corresponde a multiplicar A_S por a coluna de A_T. Isso implica que a matriz de S\circ T é A_S A_T. No exame: você pode fazer a composição por substituição (como no Passo 4) ou montar as matrizes e multiplicá-las — chega-se ao mesmo resultado.

Resposta

(S\circ T)(x,y)=\bigl(3x,\;x-3y,\;-3x,\;2x-4y\bigr)\
A_{S\circ T}=\begin{pmatrix} 3 & 0\\[4pt] 1 & -3\\[4pt] -3 & 0\\[4pt] 2 & -4 \end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad A_{S\circ T}=A_S\,A_T]

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